合肥工业大学 2025年数学分析第8题

设椭圆上的点为 $(x,y,z)$，到原点的距离平方为 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$。约束条件为抛物面方程 $g_1(x,y,z)=x^2+y^2-z=0$ 和平面方程 $g_2(x,y,z)=x+y+z-1=0$。问题转化为在约束 $g_1=0, g_2=0$ 下求 $f$ 的极值。

构造拉格朗日函数 $L = x^2+y^2+z^2 + \lambda(x^2+y^2-z) + \mu(x+y+z-1)$。分别对 $x,y,z$ 求偏导并令为零： \[ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=2x+2\lambda x+\mu=0,\\ \frac{\partial L}{\partial y}=2y+2\lambda y+\mu=0,\\ \frac{\partial L}{\partial z}=2z-\lambda+\mu=0. \end{cases} \]

由前两个方程相减得 $2(1+\lambda)(x-y)=0$。 - 若 $1+\lambda \neq 0$，则 $x=y$。 - 若 $1+\lambda=0$，即 $\lambda=-1$，代入第一个方程得 $\mu=0$，再由第三个方程得 $2z+1=0$，即 $z=-\frac12$，但抛物面要求 $z=x^2+y^2\ge0$，矛盾，故该情况无解。 因此只有 $x=y$ 的情形。

由 $x=y$ 代入抛物面得 $z=2x^2$，代入平面得 $2x+2x^2=1$，即 $2x^2+2x-1=0$。解得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$。 - 当 $x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，则 $y$ 相同，$z=2x^2=2-\sqrt{3}$，得点 $A\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2},\frac{-1+\sqrt{3}}{2},2-\sqrt{3}\right)$。 - 当 $x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，则 $z=2+\sqrt{3}$，得点 $B\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2},\frac{-1-\sqrt{3}}{2},2+\sqrt{3}\right)$。

对于点 $A$：$x^2+y^2=2-\sqrt{3}$，$z=2-\sqrt{3}$，则 $d_A^2=(2-\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})^2=2-\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=9-5\sqrt{3}$。 对于点 $B$：$x^2+y^2=2+\sqrt{3}$，$z=2+\sqrt{3}$，则 $d_B^2=(2+\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})^2=2+\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}=9+5\sqrt{3}$。 由于 $5\sqrt{3}>0$，故 $d_A^2

公式：d_A^2=9-5\sqrt{3},\quad d_B^2=9+5\sqrt{3}

提示：注意 $(2\pm\sqrt{3})^2$ 的展开不要出错。