合肥工业大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7、（15 分）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积函数列，且函数列在 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明极限函数 \( f(x) \) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积
已知 \( f_n \) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，且 \( f_n \rightrightarrows f \)（一致收敛）。对于任意给定的 \( \varepsilon > 0 \)，由一致收敛的定义，存在 \( N \)，使得当 \( n > N \) 时，对一切 \( x \in [a,b] \) 有\n\[ |f_n(x) - f(x)| < \\frac{\\varepsilon}{3(b-a)}. \]\n固定这样一个 \( n \)（比如取 \( n = N+1 \)），由于 \( f_n \) 可积，存在 \([a,b]\) 的一个分割 \( P: a = x_0 < x_1 < \\dots < x_m = b \)，使得其对应的上和与下和之差满足\n\[ U(f_n, P) - L(f_n, P) < \\frac{\\varepsilon}{3}. \]
公式：|f_n(x) - f(x)| < \\frac{\\varepsilon}{3(b-a)}
提示：注意一致收敛条件中 \( N \) 的选取依赖于 \( \\varepsilon \)，但与 \( x \) 无关，这是关键。
步骤 2/6
目标：估计 \( f \) 在分割 \( P \) 下的振幅差
对于每个小区间 \([x_{i-1}, x_i]\)，记\n\[ M_i(f) = \\sup_{x\\in[x_{i-1},x_i]} f(x), \\quad m_i(f) = \\inf_{x\\in[x_{i-1},x_i]} f(x). \]\n由一致收敛性，对于同一个 \( n \)，我们有\n\[ |f_n(x) - f(x)| < \\frac{\\varepsilon}{3(b-a)}, \]\n因此在这个小区间上，\n\[ M_i(f) \\le M_i(f_n) + \\frac{\\varepsilon}{3(b-a)},\\quad m_i(f) \\ge m_i(f_n) - \\frac{\\varepsilon}{3(b-a)}. \]\n于是\n\[ M_i(f) - m_i(f) \\le M_i(f_n) - m_i(f_n) + \\frac{2\\varepsilon}{3(b-a)}. \]
公式：M_i(f) - m_i(f) \\le M_i(f_n) - m_i(f_n) + \\frac{2\\varepsilon}{3(b-a)}
提示：这里利用了上确界和下确界的性质，注意不等号方向不要弄反。
步骤 3/6
目标：计算 \( f \) 的上和与下和之差
将上述不等式乘以区间长度 \( \\Delta x_i \) 并求和，得到\n\[ U(f,P) - L(f,P) \\le \\left[U(f_n,P) - L(f_n,P)\\right] + \\frac{2\\varepsilon}{3(b-a)}\\sum_{i=1}^m \\Delta x_i. \]\n而 \( \\sum \\Delta x_i = b-a \)，所以\n\[ U(f,P) - L(f,P) < \\frac{\\varepsilon}{3} + \\frac{2\\varepsilon}{3} = \\varepsilon. \]
公式：U(f,P) - L(f,P) < \\varepsilon
提示：注意 \( U(f_n,P) - L(f_n,P) < \\frac{\\varepsilon}{3} \) 是之前由 \( f_n \) 可积性保证的。
步骤 4/6
目标：由 Riemann 可积判定准则得出结论
由 Riemann 可积的判定准则：若对任意 \( \\varepsilon > 0 \)，存在分割 \( P \) 使得 \( U(f,P) - L(f,P) < \\varepsilon \)，则 \( f \) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积。这里我们已对任意 \( \\varepsilon > 0 \) 构造出这样的分割，因此 \( f \) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积。
公式：\\forall \\varepsilon>0, \\exists P: U(f,P)-L(f,P)<\\varepsilon \\Rightarrow f \\in \\mathcal{R}[a,b]
提示：这是 Riemann 可积的达布准则，是证明可积性的常用方法。
步骤 5/6
目标：证明极限与积分可交换
因为 \( f \) 已经证明可积，且 \( f_n \) 一致收敛到 \( f \)，对于任意 \( \\varepsilon > 0 \)，存在 \( N \)，当 \( n > N \) 时，对所有 \( x \\in [a,b] \) 有\n\[ |f_n(x) - f(x)| < \\frac{\\varepsilon}{b-a}. \]\n于是\n\[ \\left| \\int_a^b f_n(x)\\,dx - \\int_a^b f(x)\\,dx \\right| \\le \\int_a^b |f_n(x)-f(x)|\\,dx < \\int_a^b \\frac{\\varepsilon}{b-a}\\,dx = \\varepsilon. \]
公式：\\left| \\int_a^b f_n(x)\\,dx - \\int_a^b f(x)\\,dx \\right| < \\varepsilon
提示：这里利用了积分的三角不等式和一致收敛的估计，注意 \( \\varepsilon \) 的选取与 \( n \) 有关。
步骤 6/6
目标：总结结论
由 \( \\varepsilon \) 的任意性，得到\n\[ \\lim_{n\\to\\infty} \\int_a^b f_n(x)\\,dx = \\int_a^b f(x)\\,dx. \]\n因此，在一致收敛条件下，极限函数保持 Riemann 可积性，并且积分与极限可以交换顺序。
公式：\\lim_{n\\to\\infty} \\int_a^b f_n(x)\\,dx = \\int_a^b f(x)\\,dx
提示：这是分析中一致收敛的重要性质，注意与逐点收敛的区别。
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