合肥工业大学 2025年数学分析第9题

曲面方程为 $y = 4 - (x^2 + z^2)$，其中 $y > 0$。这是一个开口向下的旋转抛物面，顶点在 $(0,4,0)$，与 $xOz$ 平面相交于圆 $x^2+z^2=4$。题目中“在 $xOz$ 平面右侧部分为外侧”是指取曲面的上侧，即法向量指向 $y$ 轴正方向。

利用曲面显式表示 $y = y(x,z)$ 且取上侧时的公式： $$\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_{D_{xz}} \left[ -P\frac{\partial y}{\partial x} + Q - R\frac{\partial y}{\partial z} \right] dx\,dz$$ 其中 $D_{xz}$ 是曲面在 $xOz$ 平面上的投影区域 $x^2+z^2 \le 4$。 这里 $P = yz$，$Q = (x^2+z^2)y$，$R = xy$，且 $\frac{\partial y}{\partial x} = -2x$，$\frac{\partial y}{\partial z} = -2z$。代入得被积函数为 $2xP + Q + 2zR = 2xyz + (x^2+z^2)y + 2xyz = (x^2+z^2)y + 4xyz$。再将 $y = 4 - (x^2+z^2)$ 代入，得 $(x^2+z^2)[4-(x^2+z^2)] + 4xz[4-(x^2+z^2)]$。

令 $x = r\cos\theta$，$z = r\sin\theta$，则 $r^2 = x^2+z^2$，$dx\,dz = r\,dr\,d\theta$，积分区域为 $0 \le r \le 2$，$0 \le \theta \le 2\pi$。被积函数化为 $r^2(4-r^2) + 4r^2\sin\theta\cos\theta(4-r^2)$。于是积分变为： $$I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \left[ r^2(4-r^2) + 4r^2\sin\theta\cos\theta(4-r^2) \right] r\,dr\,d\theta$$

先对 $\theta$ 积分：第一项 $r^3(4-r^2)$ 与 $\theta$ 无关，积分得 $2\pi r^3(4-r^2)$；第二项含 $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$，在 $[0,2\pi]$ 上积分为 $0$。因此： $$I = 2\pi \int_0^2 r^3(4-r^2)\,dr = 2\pi \int_0^2 (4r^3 - r^5)\,dr$$

计算定积分： $$\int_0^2 4r^3\,dr = [r^4]_0^2 = 16, \quad \int_0^2 r^5\,dr = \left[\frac{r^6}{6}\right]_0^2 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$$ 所以 $$\int_0^2 (4r^3 - r^5)\,dr = 16 - \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$$ 因此 $$I = 2\pi \cdot \frac{16}{3} = \frac{32\pi}{3}$$