合肥工业大学 2025年数学分析第11题

利用三角恒等式 $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$，将原积分化为： $$I(\alpha) = \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{\sin 2x}{x^\alpha} \, dx$$ 这样处理后的积分形式更便于应用狄利克雷判别法。

考虑无穷限反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin 2x}{x^\alpha} dx$ 的收敛性。 - 当 $\alpha > 0$ 时，$\frac{1}{x^\alpha}$ 单调递减趋于 $0$，且 $\int_1^A \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x \big|_1^A$ 有界，由狄利克雷判别法知积分收敛。 - 当 $\alpha = 0$ 时，积分变为 $\int_1^{+\infty} \sin 2x \, dx$，原函数振荡无极限，发散。 - 当 $\alpha < 0$ 时，$x^{-\alpha}$ 增长，振幅不衰减，积分发散。 因此，定义域为 $\alpha > 0$，即 $(0, +\infty)$。

取任意闭区间 $[a, b] \subset (0, +\infty)$，其中 $a > 0$。将积分拆分为 $\int_1^A + \int_A^{+\infty}$。 - 对于 $\int_A^{+\infty}$：当 $\alpha \in [a, b]$ 时，$\frac{1}{x^\alpha} \le \frac{1}{x^a}$ 且关于 $\alpha$ 一致趋于0；$\int_1^X \sin 2x \, dx$ 有界且与 $\alpha$ 无关。由一致版本的狄利克雷判别法，$\int_A^{+\infty}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。 - 对于 $\int_1^A$：被积函数 $\frac{\sin 2x}{x^\alpha}$ 关于 $(x, \alpha)$ 连续，积分区间有限，因此积分关于 $\alpha$ 连续。 两部分结合，$I(\alpha)$ 在 $[a, b]$ 上连续，由 $a, b$ 的任意性知 $I(\alpha)$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续。

综合以上分析： - 定义域：$\alpha \in (0, +\infty)$。 - 连续性：$I(\alpha)$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续。 注意：$\alpha=0$ 及负数均不在定义域内，因为积分发散。

综合以上分析，$I(\alpha) = \int_1^{+\infty} \frac{\sin x \cos x}{x^{\alpha}} \, dx$ 收敛当且仅当 $\alpha > 0$，即定义域为 $(0, +\infty)$。在该区间上，积分关于 $\alpha$ 连续。

考虑任意闭区间 $[\delta, M] \subset (0, +\infty)$，其中 $\delta > 0$。① $\int_1^X \sin 2x \, dx$ 有界，且界与 $\alpha$ 无关；② 函数 $\frac{1}{x^\alpha}$ 对 $x$ 单调递减趋于0，且当 $\alpha \in [\delta, M]$ 时，有 $x^{-\alpha} \le x^{-\delta}$，趋于0的速度关于 $\alpha$ 一致。由一致Dirichlet判别法，积分在 $[\delta, M]$ 上一致收敛，故 $I(\alpha)$ 在该区间上连续。由于 $\delta$ 可任意接近0，$M$ 可任意大，因此 $I(\alpha)$ 在 $(0, +\infty)$ 上每一点连续。

定义域为 $\alpha \in (0, +\infty)$，且在此区间上 $I(\alpha)$ 连续。