同济大学 2026年数学分析第3题

定义辅助函数 \[ F(t) = \int_a^t f(x)\,dx - \frac{t-a}{2}[f(a)+f(t)] - C(t-a)^3, \] 其中常数 \(C\) 待定。令 \(F(b)=0\) 可确定 \(C\) 的表达式： \[ C = \frac{\int_a^b f(x)\,dx - \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]}{(b-a)^3}. \] 显然 \(F(a)=0\)。

对 \(F(t)\) 求导（利用积分上限求导法则）： \[ F'(t) = f(t) - \frac{1}{2}[f(a)+f(t)] - \frac{t-a}{2}f'(t) - 3C(t-a)^2. \] 化简得： \[ F'(t) = \frac{f(t)-f(a)}{2} - \frac{t-a}{2}f'(t) - 3C(t-a)^2. \] 代入 \(t=a\)，得 \(F'(a)=0\)。

对 \(F'(t)\) 再次求导： \[ F''(t) = \frac{f'(t)}{2} - \frac{1}{2}f'(t) - \frac{t-a}{2}f''(t) - 6C(t-a) = -\frac{t-a}{2}f''(t) - 6C(t-a). \] 由 \(F(a)=0\)，\(F(b)=0\) 及罗尔定理，存在 \(\eta \in (a,b)\) 使得 \(F'(\eta)=0\)；又 \(F'(a)=0\)，再对 \(F'(t)\) 在 \([a,\eta]\) 上应用罗尔定理，存在 \(\xi \in (a,\eta) \subset (a,b)\) 使得 \(F''(\xi)=0\)。

令 \(F''(\xi)=0\)，且 \(\xi \neq a\)（否则平凡），得： \[ -\frac{\xi-a}{2}f''(\xi) - 6C(\xi-a) = 0. \] 约去非零因子 \((\xi-a)\)，得： \[ -\frac{1}{2}f''(\xi) - 6C = 0 \quad \Rightarrow \quad C = -\frac{f''(\xi)}{12}. \] 将 \(C\) 的表达式代入 \(F(b)=0\) 的定义式，即得： \[ \int_a^b f(x)\,dx - \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)] = -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi). \]

至此，我们严格证明了梯形求积公式的误差表达式，其中 \(\xi \in (a,b) \subset [a,b]\)。证毕。

将 $k$ 的表达式代入 $k = -\frac{1}{(b-a)^3} \left[ \int_a^b f(x) \, dx - \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)] \right]$，得 $-\frac{1}{(b-a)^3} E = \frac{f''(\eta_2)}{12}$，因此 $E = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\eta_2)$。令 $\xi = \eta_2 \in (a,b)$，即证得梯形求积公式的误差公式。

由于 $f''$ 连续，由介值定理，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f''(\xi) = \frac{2}{b-a} \cdot \frac{\eta-a}{2} f''(\eta)$？实际上，令 $\xi$ 满足 $f''(\xi) = \frac{\eta-a}{b-a} f''(\eta)$ 不直接。更标准的方法是：因为 $\frac{\eta-a}{b-a} \in [0,1]$，且 $f''$ 连续，存在 $\xi$ 使得 $f''(\xi) = \frac{\eta-a}{b-a} f''(\eta)$？但这样得到 $\frac{\eta-a}{4} f''(\eta)(b-a)^2 = \frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi)$ 需要 $\frac{\eta-a}{4}(b-a)^2 = \frac{(b-a)^3}{12} \cdot \frac{\eta-a}{b-a}$？实际上，令 $\xi$ 满足 $f''(\xi) = \frac{3(\eta-a)}{b-a} f''(\eta)$ 不成立。正确做法：由 $F(b) = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi)$ 直接得到，因为 $F(b) = -\frac{(\eta-a)}{4} f''(\eta)(b-a)^2$，而 $\frac{\eta-a}{4}(b-a)^2 = \frac{(b-a)^3}{12} \cdot \frac{3(\eta-a)}{b-a}$，但 $\frac{3(\eta-a)}{b-a}$ 介于0和3之间，不能直接得到 $f''(\xi)$。实际上，标准证明中通常使用积分中值定理或构造辅助函数 $G(t)=F(t)-\frac{(t-a)^3}{12}K$ 等。这里直接给出结论：存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)] = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi).$$