同济大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．（20 分）设 $\displaystyle T(r)$ 是定义在 $\displaystyle \left[r_{0},+\infty\right)\left(r_{0}>0\right)$ 上的一个单调递增函数，且 $\displaystyle T\left(r_{0}\right) \geq 1$ ．证明：
（1）若 $\displaystyle T(r) \in C^{0}\left[r_{0},+\infty\right)$ ，则存在 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\} \subset\left[r_{0},+\infty\right)$ 满足 $\displaystyle r_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得
$$
T\left(r_{n}+\frac{1}{T\left(r_{n}\right)}\right)<2 T\left(r_{n}\right) .
$$
（2）若 $\displaystyle T(r) \in C^{1}\left[r_{0},+\infty\right)$ ，则存在 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\} \subset\left[r_{0},+\infty\right)$ ，满足 $\displaystyle r_{n} \rightarrow+\infty$ ，使得
$$
T^{\prime}\left(r_{n}\right)<T^{1+\varepsilon}\left(r_{n}\right), \varepsilon>0 .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件，明确已知与待证
已知 $T(r)$ 在 $[r_0,+\infty)$ 上单调递增，$T(r_0)\ge 1$，且 $T(r)$ 连续。要证存在 $r_n\to+\infty$ 使得 $T\left(r_n+\frac{1}{T(r_n)}\right)<2T(r_n)$。采用反证法。
提示：注意单调递增和 $T(r)\ge 1$ 保证 $\frac{1}{T(r)}\le 1$，但步长可能很小。
步骤 2/6
目标：反证法假设并构造递推序列
假设存在 $R_0>r_0$，对所有 $r\ge R_0$ 有 $T\left(r+\frac{1}{T(r)}\right)\ge 2T(r)$。取 $r\ge R_0$，定义 $r_1=r+\frac{1}{T(r)}$，则 $T(r_1)\ge 2T(r)$。递推构造 $r_{k+1}=r_k+\frac{1}{T(r_k)}$，可得 $T(r_k)\ge 2^k T(r)$。
公式：T(r_{k+1}) \ge 2T(r_k) \ge 2^{k+1}T(r)
提示：递推时需确保每一步 $r_k\ge R_0$，由单调性可自动满足。
步骤 3/6
目标：估计序列 $r_k$ 的收敛性
计算 $r_k - r = \sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{T(r_i)} \le \sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2^i T(r)} \le \frac{2}{T(r)}$，故 $r_k$ 有上界 $r+\frac{2}{T(r)}$，即 $r_k$ 收敛于某有限值 $r^*$。
公式：r_k \le r + \frac{2}{T(r)}
提示：这里利用了 $T(r_i)\ge 2^i T(r)$ 放缩步长，注意 $T(r)\ge 1$ 保证级数收敛。
步骤 4/6
目标：导出矛盾（利用连续性）
由 $T(r_k)\ge 2^k T(r)\to +\infty$，但 $r_k\to r^*$ 有限，而 $T$ 在 $r^*$ 处连续，故 $T(r_k)\to T(r^*)$ 有限，矛盾。因此假设不成立，存在 $r_n\to+\infty$ 使 $T\left(r_n+\frac{1}{T(r_n)}\right)<2T(r_n)$。
提示：连续性保证有限点处函数值有限，与指数增长矛盾。
步骤 5/6
目标：第二问：利用 $C^1$ 条件反证
假设存在 $R_0$，对所有 $r\ge R_0$ 有 $T'(r)\ge T^{1+\varepsilon}(r)$。分离变量 $\frac{T'(r)}{T^{1+\varepsilon}(r)}\ge 1$，从 $R_0$ 到 $r$ 积分。
公式：\frac{T'(r)}{T^{1+\varepsilon}(r)} \ge 1
提示：注意 $\varepsilon>0$ 固定，$T(r)\ge 1$ 保证分母有意义。
步骤 6/6
目标：积分并导出矛盾
积分得 $\int_{R_0}^r \frac{T'(t)}{T^{1+\varepsilon}(t)}dt = \frac{1}{\varepsilon}\left(T(R_0)^{-\varepsilon}-T(r)^{-\varepsilon}\right) \ge r-R_0$。当 $r\to+\infty$，左边有上界 $\frac{1}{\varepsilon}T(R_0)^{-\varepsilon}$，右边趋于无穷，矛盾。故存在 $r_n\to+\infty$ 使 $T'(r_n)
公式：\frac{1}{\varepsilon}\left(T(R_0)^{-\varepsilon}-T(r)^{-\varepsilon}\right) \ge r-R_0
提示：左边非负且趋于常数，右边无界，矛盾明显。
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