哈尔滨工业大学 2021年数学分析第1题
📝 题目
1．刑断下列命题是否正确，正确请给出证星，错识请给出反例。
（1）设而数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，那么存在 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ 与 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在令域 $\displaystyle B\left(x_{0}, c\right)$ 上有界。
（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 对任意 $\displaystyle p>0$ 都们 $\displaystyle \left|x_{n+p}-x_{n}\right| \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，服么 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 列。
（3）如果 $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{1}(x) \mathrm{d} x=0$ ，开么 $\displaystyle f(x)=0(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 。
（4）如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mu_{1}}{\tan (1 / n)}=0$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收放。
（5）对于二元的数 $\displaystyle f(x, y)$ ，它在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 存在任意方向的方向导数，肌么 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 可欲。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析命题（1）
命题（1）声称：对于定义在闭区间 $[a,b]$ 上的函数 $f(x)$，存在 $x_0 \in (a,b)$ 和 $c>0$，使得 $f(x)$ 在邻域 $B(x_0,c)$ 内有界。这个命题是错误的。反例：定义函数 $f(x)=\begin{cases} 0, & x \text{为无理数}\\ n, & x=\frac{m}{n} \text{为既约分数} \end{cases}$，其中 $m,n$ 互质。在任意区间内，既约分数分母可以任意大，因此 $f(x)$ 在任意邻域内无界，故不存在这样的 $x_0$ 和 $c$。
提示：注意：闭区间上的函数不一定局部有界，反例需构造在任意邻域内无界的函数。
步骤 2/5
目标：分析命题（2）
命题（2）声称：若对任意 $p>0$，$|x_{n+p}-x_n|\to 0$（$n\to\infty$），则 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列。这是错误的。反例：取 $x_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$，则对任意 $p$，$|x_{n+p}-x_n|=\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\to 0$（当 $n\to\infty$），但 $\{x_n\}$ 发散（调和级数部分和），不是 Cauchy 列。
公式：$|x_{n+p}-x_n|=\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}$
提示：Cauchy 列要求对任意 $\epsilon>0$，存在 $N$，使得对所有 $m,n>N$ 有 $|x_m-x_n|<\epsilon$，而条件只对固定的 $p$ 成立，不够强。
步骤 3/5
目标：分析命题（3）
命题（3）声称：若 $\int_0^1 f^2(x)dx=0$，则 $f(x)=0$ 在 $[0,1]$ 上。错误。反例：$f(x)=\begin{cases} 1, & x=0\\ 0, & x\in(0,1] \end{cases}$，则 $f^2(x)=f(x)$，$\int_0^1 f^2(x)dx=0$，但 $f(0)=1\neq 0$。注意：若 $f$ 连续，则命题正确。
公式：$\int_0^1 f^2(x)dx=0$
提示：积分值为零只能推出 $f$ 几乎处处为零，不能推出逐点为零，除非 $f$ 连续。
步骤 4/5
目标：分析命题（4）
命题（4）声称：若 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{\tan(1/n)}=0$，则级数 $\sum u_n$ 收敛。错误。反例：取 $u_n=\frac{1}{n\ln n}$，则 $\frac{u_n}{\tan(1/n)}\sim \frac{1/n\ln n}{1/n}=\frac{1}{\ln n}\to 0$，但 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$ 发散（积分判别法）。
公式：$\frac{u_n}{\tan(1/n)}\sim \frac{1}{\ln n}$
提示：极限为0只能说明 $u_n$ 是 $\tan(1/n)$ 的高阶无穷小，但 $\tan(1/n)\sim 1/n$，而 $\sum 1/n$ 发散，所以 $u_n$ 可能发散。
步骤 5/5
目标：分析命题（5）
命题（5）声称：若二元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处存在任意方向的方向导数，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微。错误。反例：$f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2y}{x^4+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\\ 0, & (0,0) \end{cases}$。沿方向 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 的方向导数：$\lim_{t\to 0}\frac{f(t\cos\theta,t\sin\theta)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{t^3\cos^2\theta\sin\theta}{t^4\cos^4\theta+t^2\sin^2\theta}\cdot\frac{1}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{t^2\cos^4\theta+\sin^2\theta}$。若 $\sin\theta=0$，极限为0；若 $\sin\theta\neq0$，极限为 $\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$。故方向导数存在。但 $f$ 在 $(0,0)$ 不连续（沿 $y=x^2$ 趋于0时极限为 $1/2$），故不可微。
公式：$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\cos\theta,t\sin\theta)}{t}$
提示：方向导数存在不能推出可微，还需偏导数连续或全增量可线性逼近。
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