哈尔滨工业大学 2021年数学分析第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1} a_{1}+\sqrt{2} a_{2}+\cdots+\sqrt{n} a_{n}}{n^{3 / 2}}=\frac{2}{3} a .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变量代换与极限转化
设 $b_n = \sqrt{n} a_n$，则 $\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{\sqrt{n}} = a$。需证 $\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n b_k}{n^{3/2}} = \frac{2}{3}a$。
提示：注意 $b_n$ 的定义，确保 $\frac{b_n}{\sqrt{n}} = a_n$。
步骤 2/7
目标：应用Stolz定理
由Stolz定理（$\frac{\infty}{\infty}$型），有
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n^{3/2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{S_n - S_{n-1}}{n^{3/2} - (n-1)^{3/2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{n^{3/2} - (n-1)^{3/2}}.
$$
公式：Stolz定理：$\lim \frac{x_n}{y_n} = \lim \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}}$（若分母单调趋于无穷）
提示：确认分母 $n^{3/2}$ 单调递增趋于无穷，满足Stolz定理条件。
步骤 3/7
目标：分母差的计算
计算分母差：
$$
n^{3/2} - (n-1)^{3/2} = n^{3/2} \left[1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{3/2}\right].
$$
提示：提取公因式 $n^{3/2}$ 便于展开。
步骤 4/7
目标：泰勒展开近似
利用 $(1-x)^{3/2} = 1 - \frac{3}{2}x + o(x)$，令 $x = \frac{1}{n}$，得
$$
1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{3/2} = \frac{3}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right).
$$
公式：$(1-x)^\alpha = 1 - \alpha x + o(x)$ 当 $x\to 0$
提示：注意 $o(1/n)$ 表示比 $1/n$ 高阶的无穷小，确保展开到一阶。
步骤 5/7
目标：化简分母差
代入得
$$
n^{3/2} - (n-1)^{3/2} = n^{3/2} \left(\frac{3}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right) = \frac{3}{2} n^{1/2} + o(n^{1/2}).
$$
提示：注意 $n^{3/2} \cdot o(1/n) = o(n^{1/2})$。
步骤 6/7
目标：代入极限表达式
于是
$$
\frac{b_n}{n^{3/2} - (n-1)^{3/2}} = \frac{\sqrt{n} a_n}{\frac{3}{2} n^{1/2} + o(n^{1/2})} = \frac{a_n}{\frac{3}{2} + o(1)}.
$$
提示：分子分母同时除以 $n^{1/2}$，注意 $o(n^{1/2})/n^{1/2} = o(1)$。
步骤 7/7
目标：取极限得结果
由于 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$，且 $o(1) \to 0$，故
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\frac{3}{2} + o(1)} = \frac{a}{3/2} = \frac{2}{3}a.
$$
由Stolz定理，原极限为 $\frac{2}{3}a$。
提示：注意 $o(1)$ 是无穷小量，不影响极限值。
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