哈尔滨工业大学 2021年数学分析第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)=|\sin x| / x$ ．
（1）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 与 $\displaystyle (0,1)$ 上分别一致進线；
（2）判断 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上是否一致逢续，并说明理由。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数定义域与表达式
函数 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 的定义域为 $(-1,0)\cup(0,1)$。在 $(-1,0)$ 上，$\sin x<0$，故 $|\sin x|=-\sin x$，所以 $f(x)=\frac{-\sin x}{x}$；在 $(0,1)$ 上，$\sin x>0$，故 $|\sin x|=\sin x$，所以 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$。
提示：注意绝对值符号的处理，根据 $\sin x$ 的符号分段讨论。
步骤 2/5
目标：证明在 $(-1,0)$ 上一致连续
考虑 $f(x)=\frac{-\sin x}{x}$ 在 $(-1,0)$ 上。由于 $\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$，因此可定义 $f(0^-)=-1$，则 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上连续（$x=-1$ 处左连续）。闭区间上的连续函数必一致连续，故 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上一致连续。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
提示：利用极限定义补充函数值，将开区间延拓为闭区间，再应用一致连续性定理。
步骤 3/5
目标：证明在 $(0,1)$ 上一致连续
考虑 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 上。由于 $\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x}=1$，因此可定义 $f(0^+)=1$，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续（$x=1$ 处右连续）。闭区间上的连续函数必一致连续，故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
提示：与上一步类似，注意左右极限不同，但各自可延拓。
步骤 4/5
目标：判断在 $(-1,0)\cup(0,1)$ 上是否一致连续
考虑两个点列：$x_n=\frac{1}{n}$，$y_n=-\frac{1}{n}$，其中 $n$ 充分大使得 $x_n,y_n\in(-1,0)\cup(0,1)$。则 $|x_n-y_n|=\frac{2}{n}\to 0$。计算 $f(x_n)=\frac{\sin(1/n)}{1/n}=n\sin(1/n)\to 1$，$f(y_n)=\frac{-\sin(-1/n)}{-1/n}=\frac{\sin(1/n)}{-1/n}=-n\sin(1/n)\to -1$。因此 $|f(x_n)-f(y_n)|\to 2$，不趋于0。由一致连续的定义，存在 $\varepsilon=1$，对任意 $\delta>0$，取 $n$ 充分大使得 $|x_n-y_n|<\delta$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|>1$，故 $f(x)$ 在 $(-1,0)\cup(0,1)$ 上不一致连续。
公式：$\lim_{n\to\infty} n\sin(1/n)=1$
提示：选择两个分别从左右趋于0的点列，利用左右极限不同导致函数值差趋于非零常数。
步骤 5/5
目标：总结结论
（1）$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上分别一致连续。（2）$f(x)$ 在 $(-1,0)\cup(0,1)$ 上不一致连续。
提示：注意一致连续是整体性质，在并集上可能不成立，因为左右极限不相等。
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