哈尔滨工业大学 2021年数学分析第10题
📝 题目
10．在不同的 $S$ 下计算．
$$
\iint_{S} \frac{x d y d z+y d z d x+z d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} .
$$
（1）$S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}(c>0)$ ；
（2）$S$ 为任意不包含原点的闭曲面；
（3）$S$ 为任㴔包含原点的闭曲面．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将曲面积分表示为向量点积形式
记向量场 $\mathbf{F} = \left( \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right)$，则原积分可写为 $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$，其中 $d\mathbf{S} = (dy\,dz, dz\,dx, dx\,dy)$。
公式：$\iint_S \frac{x\,dy\,dz+y\,dz\,dx+z\,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$
提示：注意第二类曲面积分与向量点积的关系，方向由曲面法向决定。
步骤 2/7
目标：计算散度并判断奇点
计算 $\nabla \cdot \mathbf{F}$：
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) = \frac{r^3 - 3x^2 r}{r^6} = \frac{r^2-3x^2}{r^5}$$，类似得 $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^3}\right) = \frac{r^2-3y^2}{r^5}$，$\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^3}\right) = \frac{r^2-3z^2}{r^5}$，求和得 $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{3r^2-3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}=0$（$r\neq0$）。原点处散度无定义。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$ 当 $(x,y,z)\neq(0,0,0)$
提示：散度计算需仔细，注意分母幂次。
步骤 3/7
目标：情况(1)：球面 $x^2+y^2+z^2=r^2$ 上的积分
球面封闭且不包含原点（$r>0$），由高斯公式，$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = 0$，其中 $\Omega$ 为球体。
公式：高斯公式：$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_\Omega \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$
提示：确认原点不在曲面内部，否则高斯公式不适用。
步骤 4/7
目标：情况(2)：任意不包含原点的闭曲面
由于原点不在曲面内部，曲面所围区域 $\Omega$ 内 $\nabla\cdot\mathbf{F}=0$，由高斯公式得积分为0。
公式：同上
提示：注意闭曲面需定向为外侧。
步骤 5/7
目标：情况(3)：包含原点的闭曲面——构造辅助小球面
原点在曲面内部，不能直接使用高斯公式。在原点附近作小球面 $S_\varepsilon: x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2$，取外法向（指向原点外侧），使小球完全包含在 $S$ 内。设 $S$ 与 $S_\varepsilon$ 所围区域为 $\Omega$，则 $\Omega$ 内无原点，散度为0。对 $S$ 和 $S_\varepsilon^-$（内法向）应用高斯公式：$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} + \iint_{S_\varepsilon^-} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 0$，故 $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$（外法向）。
公式：高斯公式应用于复连通区域
提示：注意小球面法向方向：内法向与外侧相反，导致符号变化。
步骤 6/7
目标：计算小球面上的积分
在球面 $x^2+y^2+z^2=\varepsilon^2$ 上，外法向单位向量 $\mathbf{n}=(x/\varepsilon, y/\varepsilon, z/\varepsilon)$，$d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS$。则 $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \frac{x}{\varepsilon^3}\cdot\frac{x}{\varepsilon} + \frac{y}{\varepsilon^3}\cdot\frac{y}{\varepsilon} + \frac{z}{\varepsilon^3}\cdot\frac{z}{\varepsilon}\,dS = \frac{x^2+y^2+z^2}{\varepsilon^4}\,dS = \frac{1}{\varepsilon^2}\,dS$。积分得 $\iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon^2}\cdot 4\pi\varepsilon^2 = 4\pi$。
公式：$\iint_{S_\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon^2}\,dS = 4\pi$
提示：注意球面面积 $4\pi\varepsilon^2$，计算时不要遗漏。
步骤 7/7
目标：得出情况(3)的结果
由 $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_\varepsilon} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 4\pi$，故包含原点的任意闭曲面积分为 $4\pi$。
提示：结果与曲面形状无关，只取决于是否包含原点。
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