哈尔滨工业大学 2021年数学分析第9题
📝 题目
9．计第
$$
\lim _{t \rightarrow 0+} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} C t^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将三重积分转化为球坐标形式
在球坐标下，令 $x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$，其中 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \in [0,t]$, $\theta \in [0,\pi]$, $\phi \in [0,2\pi]$。体积元为 $dx\,dy\,dz = r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi$，被积函数 $\sin\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sin r$。于是积分化为：
$$
\iiint_{x^2+y^2+z^2 \le t^2} \sin\sqrt{x^2+y^2+z^2} \, dx\,dy\,dz = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta \int_{0}^{t} \sin r \cdot r^2 \, dr
$$
公式：dx\,dy\,dz = r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi
提示：注意球坐标变换中 $r$ 的范围是从 0 到 $t$，因为积分区域是半径为 $t$ 的球体。
步骤 2/4
目标：计算角度部分的积分
角度部分积分独立计算：
$$
\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi, \quad \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2
$$
两者相乘得到 $4\pi$。因此原三重积分简化为：
$$
4\pi \int_{0}^{t} r^2 \sin r \, dr
$$
公式：\int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2
提示：角度积分结果 $4\pi$ 是半径为 $t$ 的球体的表面积公式的一部分，但这里是对径向函数积分。
步骤 3/4
目标：对径向被积函数进行泰勒展开
当 $t \to 0^+$ 时，$r$ 很小，将 $\sin r$ 展开为泰勒级数：
$$
\sin r = r - \frac{r^3}{6} + \frac{r^5}{120} - \cdots
$$
于是
$$
r^2 \sin r = r^3 - \frac{r^5}{6} + \frac{r^7}{120} - \cdots
$$
从 0 到 $t$ 逐项积分：
$$
\int_0^t r^2 \sin r \, dr = \int_0^t \left(r^3 - \frac{r^5}{6} + \frac{r^7}{120} - \cdots\right) dr = \frac{t^4}{4} - \frac{t^6}{36} + \frac{t^8}{960} - \cdots
$$
公式：\sin r = r - \frac{r^3}{6} + O(r^5)
提示：展开到 $r^3$ 项即可，因为分母是 $t^4$，更高次项在极限中会消失。
步骤 4/4
目标：代入极限表达式并化简
原极限为：
$$
\lim_{t\to 0^+} \frac{1}{t^4} \cdot 4\pi \left( \frac{t^4}{4} - \frac{t^6}{36} + \cdots \right)
$$
化简得：
$$
= \lim_{t\to 0^+} 4\pi \left( \frac{1}{4} - \frac{t^2}{36} + \cdots \right)
$$
当 $t \to 0$ 时，括号内趋近于 $\frac{1}{4}$，因此极限值为：
$$
4\pi \cdot \frac{1}{4} = \pi
$$
公式：\lim_{t\to 0^+} \frac{1}{t^4} \cdot 4\pi \cdot \frac{t^4}{4} = \pi
提示：注意 $t^6$ 项除以 $t^4$ 后含有 $t^2$，在 $t \to 0$ 时趋于 0，因此只需保留 $t^4$ 项。
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