哈尔滨工业大学 2021年数学分析第5题

题目中“负训逆增”应为笔误，正确条件是：函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且满足 $f(x) \geq 0$（非负）以及 $f(x)$ 单调递增。要证明的不等式为： $$ \int_a^b x f(x) \, dx \geq \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \, dx $$

构造辅助函数 $g(t) = \int_a^t \left(x - \frac{a+b}{2}\right) f(x) \, dx$，则 $g(a)=0$。求导得 $g'(t) = \left(t - \frac{a+b}{2}\right) f(t)$。 当 $t < \frac{a+b}{2}$ 时，$t - \frac{a+b}{2} \leq 0$，且 $f(t) \geq 0$，故 $g'(t) \leq 0$； 当 $t > \frac{a+b}{2}$ 时，$t - \frac{a+b}{2} \geq 0$，且 $f(t) \geq 0$，故 $g'(t) \geq 0$。 因此 $g(t)$ 在 $t = \frac{a+b}{2}$ 处取得最小值。计算最小值： $$ g\left(\frac{a+b}{2}\right) = \int_a^{\frac{a+b}{2}} \left(x - \frac{a+b}{2}\right) f(x) \, dx \leq 0 $$ 因为被积函数 $\left(x - \frac{a+b}{2}\right) \leq 0$ 且 $f(x) \geq 0$。 但我们需要证明 $g(b) \geq 0$。由于 $g(t)$ 在 $\left[\frac{a+b}{2}, b\right]$ 上递增，且 $g\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq 0$，仅凭此不能直接得到 $g(b) \geq 0$，实际上此方法需结合对称性进一步分析，此处作为思路展示，更严谨的证明见方法二、三。

切比雪夫积分不等式：若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上同单调（都递增或都递减），则 $$ \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)g(x) \, dx \geq \left(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \, dx\right) \left(\frac{1}{b-a}\int_a^b g(x) \, dx\right) $$ 取 $g(x)=x$，显然 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上递增，$f(x)$ 也递增，满足同单调条件。代入不等式： $$ \int_a^b x f(x) \, dx \geq \frac{1}{b-a} \left(\int_a^b x \, dx\right) \left(\int_a^b f(x) \, dx\right) $$ 计算 $\int_a^b x \, dx = \frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{(b-a)(a+b)}{2}$，代入得： $$ \int_a^b x f(x) \, dx \geq \frac{1}{b-a} \cdot \frac{(b-a)(a+b)}{2} \cdot \int_a^b f(x) \, dx = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \, dx $$ 证毕。

作变量替换 $x = a+b - t$，则当 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 时，$t$ 从 $b$ 到 $a$，$dx = -dt$，于是： $$ I = \int_a^b x f(x) \, dx = \int_b^a (a+b-t) f(a+b-t) \, (-dt) = \int_a^b (a+b-t) f(a+b-t) \, dt $$ 将积分变量 $t$ 换回 $x$，得： $$ I = \int_a^b (a+b-x) f(a+b-x) \, dx $$ 将两个表达式相加： $$ 2I = \int_a^b \left[ x f(x) + (a+b-x) f(a+b-x) \right] dx $$ 由于 $f$ 递增，对任意 $x \in [a,b]$，考虑两种情况： - 若 $x \leq \frac{a+b}{2}$，则 $x \leq a+b-x$，由 $f$ 递增得 $f(x) \leq f(a+b-x)$，于是： $$ x f(x) + (a+b-x) f(a+b-x) \geq x f(x) + (a+b-x) f(x) = (a+b) f(x) $$ - 若 $x \geq \frac{a+b}{2}$，则 $x \geq a+b-x$，由 $f$ 递增得 $f(x) \geq f(a+b-x)$，于是： $$ x f(x) + (a+b-x) f(a+b-x) \geq (a+b-x) f(a+b-x) + x f(a+b-x) = (a+b) f(a+b-x) $$ 因此，对任意 $x$，被积函数不小于 $(a+b) \min\{f(x), f(a+b-x)\}$。但更直接地，由对称性，$\int_a^b f(a+b-x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx$，故对上述不等式两边积分得： $$ 2I \geq (a+b) \int_a^b f(x) \, dx $$ 即 $I \geq \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \, dx$，证毕。