哈尔滨工业大学 2021年数学分析第6题
📝 题目
6．刑断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{(-1)^{n}} / n^{f}-1\right)$ 的收攽性与绝对收筑性．其中 $\displaystyle p>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析通项渐近行为
考虑通项 $a_n = e^{(-1)^n / n^p} - 1$。由于 $(-1)^n / n^p \to 0$（$n \to \infty$），利用等价无穷小 $e^x - 1 \sim x$（$x \to 0$），得到 $a_n \sim \frac{(-1)^n}{n^p}$。因此，绝对值 $|a_n| \sim \frac{1}{n^p}$。
公式：$e^x - 1 \sim x \quad (x \to 0)$
提示：注意等价无穷小替换时，需要确保 $x \to 0$，这里 $(-1)^n / n^p$ 确实趋于0。
步骤 2/7
目标：判断绝对收敛性
考虑绝对值级数 $\sum |a_n|$。由于 $|a_n| \sim 1/n^p$，由 $p$-级数判别法，$\sum 1/n^p$ 收敛当且仅当 $p > 1$。因此，当 $p > 1$ 时，原级数绝对收敛；当 $0 < p \le 1$ 时，绝对值级数发散，原级数非绝对收敛。
公式：$\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛 $\iff p > 1$
提示：绝对收敛性只需比较通项绝对值与 $1/n^p$ 的阶，注意 $p$ 的范围。
步骤 3/7
目标：将通项展开到更高阶
为了进一步分析条件收敛性，将 $a_n$ 泰勒展开：$e^{(-1)^n / n^p} - 1 = \frac{(-1)^n}{n^p} + \frac{1}{2n^{2p}} + O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right)$。因此，原级数可分解为三个级数之和：$\sum \frac{(-1)^n}{n^p} + \frac{1}{2} \sum \frac{1}{n^{2p}} + \sum O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right)$。
公式：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
提示：展开到二阶项，因为一阶项是交错级数，二阶项是正项级数，可能影响收敛性。
步骤 4/7
目标：分析各部分的收敛性
1. $\sum \frac{(-1)^n}{n^p}$：当 $p > 0$ 时，由莱布尼茨判别法，该交错级数收敛（条件收敛）。
2. $\sum \frac{1}{n^{2p}}$：当 $2p > 1$ 即 $p > 1/2$ 时绝对收敛；当 $p \le 1/2$ 时发散（正项级数）。
3. $\sum O\left(\frac{1}{n^{3p}}\right)$：当 $3p > 1$ 即 $p > 1/3$ 时绝对收敛；当 $p \le 1/3$ 时可能发散，但高阶项不影响主要判断。
公式：莱布尼茨判别法：$\sum (-1)^n b_n$ 收敛，若 $b_n$ 单调递减趋于0。
提示：注意 $p>0$ 时 $1/n^p$ 单调递减，故交错级数收敛。
步骤 5/7
目标：综合判断收敛性（$p>1/2$ 情形）
当 $p > 1$ 时，已得绝对收敛。当 $1/2 < p \le 1$ 时，$\sum (-1)^n/n^p$ 收敛，$\sum 1/n^{2p}$ 收敛（因 $2p>1$），$\sum O(1/n^{3p})$ 收敛（因 $3p>1$），故原级数收敛。但此时 $p \le 1$ 导致绝对值级数发散，所以原级数条件收敛。
提示：注意 $p=1$ 时 $\sum 1/n^2$ 收敛，属于此情形。
步骤 6/7
目标：综合判断收敛性（$0
当 $0 < p \le 1/2$ 时，$\sum (-1)^n/n^p$ 收敛，但 $\sum 1/n^{2p}$ 发散（正项发散到 $+\infty$），且 $\sum O(1/n^{3p})$ 可能收敛或发散，但正项发散占主导，因此原级数发散（通项中正项部分导致整体发散）。特别地，$p=1/2$ 时 $\sum 1/n$ 发散，原级数发散。
提示：注意 $p$ 很小时，二阶项 $1/(2n^{2p})$ 发散速度更快，导致级数发散。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述：
- 当 $p > 1$ 时，级数绝对收敛；
- 当 $1/2 < p \le 1$ 时，级数条件收敛；
- 当 $0 < p \le 1/2$ 时，级数发散。
提示：注意边界 $p=1/2$ 和 $p=1$ 的归属。
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