哈尔滨工业大学 2021年数学分析第7题
📝 题目
7．设醑数列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逢续，且而数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收说，证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(a)$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收敛；
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在闭区问 $\displaystyle [a, b]$ 上一致改敦。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用一致收敛的柯西准则
由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 上一致收敛，根据一致收敛的柯西准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时，对所有 $x \in (a,b)$ 有 $\left| \sum_{k=n+1}^{m} u_k(x) \right| < \varepsilon$。
公式：一致收敛的柯西准则：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall m>n\geq N, \forall x\in (a,b): \left|\sum_{k=n+1}^m u_k(x)\right|<\varepsilon$
提示：注意一致收敛的柯西准则中，$N$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$。
步骤 2/5
目标：证明 $\sum u_n(a)$ 收敛
取 $x$ 趋于 $a^+$，由于 $u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，有限和 $\sum_{k=n+1}^{m} u_k(x)$ 在 $x=a$ 处连续，因此 $\sum_{k=n+1}^{m} u_k(a) = \lim_{x\to a^+} \sum_{k=n+1}^{m} u_k(x)$。由极限的保号性，$\left| \sum_{k=n+1}^{m} u_k(a) \right| \leq \varepsilon$。故 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(a)$ 满足柯西准则，从而收敛。
提示：注意极限与有限和可交换，但无限和不一定。这里只涉及有限和。
步骤 3/5
目标：证明 $\sum u_n(b)$ 收敛
同理，取 $x$ 趋于 $b^-$，由连续性可得 $\left| \sum_{k=n+1}^{m} u_k(b) \right| \leq \varepsilon$，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(b)$ 收敛。
提示：与步骤2对称，注意端点处极限的存在性。
步骤 4/5
目标：利用连续性将一致收敛性延拓到端点
由（1）知 $\sum u_n(a)$ 和 $\sum u_n(b)$ 收敛。对任意 $\varepsilon > 0$，由 $(a,b)$ 上的一致收敛性，存在 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时，对所有 $x \in (a,b)$ 有 $\left| \sum_{k=n+1}^{m} u_k(x) \right| < \varepsilon$。由于 $u_n$ 连续，左端作为 $x$ 的函数在 $[a,b]$ 上连续，因此不等式对 $x=a$ 和 $x=b$ 也成立（取极限）。故对所有 $x \in [a,b]$ 成立，即级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。
提示：这里利用了连续函数的极限性质：若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上满足 $|f(x)|<\varepsilon$，且 $f$ 在 $a$ 处连续，则 $|f(a)|\leq\varepsilon$。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛。
提示：注意：本题的关键是利用一致收敛的柯西准则和函数的连续性，将开区间上的一致收敛性延拓到闭区间。
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