哈尔滨工业大学 2025年数学分析第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle I(k, a)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-k x} \frac{\sin a x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（1）证明：对固定的 $\displaystyle k \in[0,+\infty)$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $a$ 在 $\displaystyle |a| \geq \delta(\delta>0)$ 上一致收敛．对固定的 $\displaystyle a \neq 0$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $k$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫．
（2）计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明对固定k，积分关于a在|a|≥δ上一致收敛
考虑积分 $I(k,a)=\int_0^{+\infty} e^{-kx} \frac{\sin(ax)}{x} dx$。固定 $k\in[0,+\infty)$，令 $f(x,a)=e^{-kx}\frac{\sin(ax)}{x}$。当 $|a|\geq\delta>0$ 时，应用Dirichlet判别法：函数 $\frac{1}{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减且趋于0；而 $\int_0^X e^{-kx}\sin(ax)dx$ 一致有界，因为 $\left|\int_0^X e^{-kx}\sin(ax)dx\right|\leq \frac{2}{|a|}\leq\frac{2}{\delta}$。因此积分关于 $a$ 在 $|a|\geq\delta$ 上一致收敛。
公式：Dirichlet判别法
提示：注意 $\int_0^X \sin(ax)dx$ 的有界性依赖于 $a\neq0$，且 $e^{-kx}$ 不影响有界性。
步骤 2/5
目标：证明对固定a≠0，积分关于k在[0,+∞)上一致收敛
固定 $a\neq0$，考虑 $k\in[0,+\infty)$。令 $g(x,k)=e^{-kx}\frac{\sin(ax)}{x}$。由于 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(ax)}{x}dx$ 条件收敛，其部分积分 $\int_0^X \frac{\sin(ax)}{x}dx$ 关于 $X$ 有界。函数 $e^{-kx}$ 关于 $k$ 单调且一致有界（$0\leq e^{-kx}\leq1$）。由Abel判别法，积分关于 $k$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：Abel判别法
提示：注意 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(ax)}{x}dx$ 收敛但不绝对收敛，因此不能用Weierstrass判别法。
步骤 3/5
目标：引入含参积分并求导
考虑 $I(k,a)=\int_0^{+\infty} e^{-kx} \frac{\sin(ax)}{x} dx$。对 $a$ 求导，在积分号下求导得：$\frac{\partial I}{\partial a}=\int_0^{+\infty} e^{-kx} \cos(ax) dx$。计算该积分：$\int_0^{+\infty} e^{-kx}\cos(ax)dx = \frac{k}{k^2+a^2}$（当 $k>0$ 时）。
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-kx}\cos(ax)dx = \frac{k}{k^2+a^2}$
提示：求导与积分交换需要验证一致收敛性，这里由参数 $a$ 的局部一致收敛性保证。
步骤 4/5
目标：积分得到I(k,a)的表达式
对 $\frac{\partial I}{\partial a}=\frac{k}{k^2+a^2}$ 关于 $a$ 积分，得 $I(k,a)=\arctan\left(\frac{a}{k}\right)+C$。由 $I(k,0)=0$ 得 $C=0$，故 $I(k,a)=\arctan\left(\frac{a}{k}\right)$（$k>0$）。
公式：$\int \frac{k}{k^2+a^2}da = \arctan\left(\frac{a}{k}\right)$
提示：注意 $k>0$ 时 $\arctan$ 定义良好；$k=0$ 时需单独处理。
步骤 5/5
目标：取极限计算Dirichlet积分
由（1）中一致收敛性，$I(k,1)$ 关于 $k$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛，因此 $\lim_{k\to0^+} I(k,1)=I(0,1)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}dx$。而 $\lim_{k\to0^+} \arctan\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{\pi}{2}$。所以 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}dx = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\lim_{k\to0^+} \arctan(1/k)=\pi/2$
提示：极限交换需要一致收敛性保证，这里利用了（1）中关于 $k$ 的一致收敛结论。
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