📝 哈尔滨工业大学 2025年数学分析真题
第1题
1．判断题．正确的给出证明，错误的给出反例．
（1）设 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ ，若数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（2）两个在 $\displaystyle x_{0}$ 附近无界的函数之积仍为无界函数。
（3）若 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续，$\displaystyle u=g(y)$ 在点 $\displaystyle y_{0}=f\left(x_{0}\right)$ 不连续，则复合函数 $\displaystyle u=g(f(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续．
（4）一元函数的定积分，若 $\displaystyle |f(x)|$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 可积．
（5）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个二次极限都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的二重极限也存在．
（1）设 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ ，若数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
（2）两个在 $\displaystyle x_{0}$ 附近无界的函数之积仍为无界函数。
（3）若 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续，$\displaystyle u=g(y)$ 在点 $\displaystyle y_{0}=f\left(x_{0}\right)$ 不连续，则复合函数 $\displaystyle u=g(f(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续．
（4）一元函数的定积分，若 $\displaystyle |f(x)|$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 可积．
（5）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个二次极限都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的二重极限也存在．
第2题
2．解答如下问题：
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界．
（2）用两种方法证明函数 $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界．
（2）用两种方法证明函数 $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．
第3题
3．设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ ．
（1）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
（3）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的偏导数连续．
（1）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
（3）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的偏导数连续．
第4题
4．分别从微分学和积分学的角度，用五种方法证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{x} \geq 1+x$ ．
第5题
5．若对 $\displaystyle \forall x \in(a, b)$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x) \geq 0, f^{\prime \prime}(x) \leq 0$ ．求证：$\displaystyle f(x) \leq \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ －
第6题
6．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续且无极大值点，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset(a, b)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\inf _{a<x<b} f(x)$ －
（1）用肯定语言叙述 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \neq \bar{x}$ 的 $\displaystyle \varepsilon-N$ 定义．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，是否有 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ？如果有，请加以证明，否则请举反例．
（3）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（1）用肯定语言叙述 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \neq \bar{x}$ 的 $\displaystyle \varepsilon-N$ 定义．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，是否有 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ？如果有，请加以证明，否则请举反例．
（3）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
第7题
7．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_{n}}$ 收玫．记
$$
A_{n}=\sum_{k=1}^{n} p_{k}, B_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{A_{k}^{2}}, C_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_{k}}, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{A_{k}}
$$
证明：
（1）$\displaystyle B_{n}<\frac{5}{p_{1}}+2 S_{n}+C_{n}$ ．
（2）$\displaystyle S_{n}<\sqrt{B_{n} C_{n}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 收敛。
$$
A_{n}=\sum_{k=1}^{n} p_{k}, B_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{A_{k}^{2}}, C_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_{k}}, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{A_{k}}
$$
证明：
（1）$\displaystyle B_{n}<\frac{5}{p_{1}}+2 S_{n}+C_{n}$ ．
（2）$\displaystyle S_{n}<\sqrt{B_{n} C_{n}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 收敛。
第8题
8．证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛．（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \frac{\ln x}{1+|\ln (-\ln x)|}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛．（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \frac{\ln x}{1+|\ln (-\ln x)|}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
第9题
9．设 $\displaystyle I(k, a)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-k x} \frac{\sin a x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（1）证明：对固定的 $\displaystyle k \in[0,+\infty)$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $a$ 在 $\displaystyle |a| \geq \delta(\delta>0)$ 上一致收敛．对固定的 $\displaystyle a \neq 0$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $k$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫．
（2）计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值．
（1）证明：对固定的 $\displaystyle k \in[0,+\infty)$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $a$ 在 $\displaystyle |a| \geq \delta(\delta>0)$ 上一致收敛．对固定的 $\displaystyle a \neq 0$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $k$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫．
（2）计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值．
第10题
10．计算：
（1）$\displaystyle \oint_{C} \frac{y}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $C$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，取逆时针方向．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是圆雉 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(0 \leq z \leq 2)$的外侧。
（3）$\displaystyle \oint_{C} y^{3} \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} y+x^{3} \mathrm{~d} z$ ，其中 $C$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向看为逆时针方向。
（1）$\displaystyle \oint_{C} \frac{y}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $C$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，取逆时针方向．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是圆雉 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(0 \leq z \leq 2)$的外侧。
（3）$\displaystyle \oint_{C} y^{3} \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} y+x^{3} \mathrm{~d} z$ ，其中 $C$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向看为逆时针方向。