哈尔滨工业大学 2025年数学分析第8题

当 $x=0$ 时，$x^n \ln x$ 的极限为 $0$（因为 $x^n$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln x$ 趋于 $-\infty$ 的速度）。当 $x=1$ 时，$\ln 1 = 0$，所以该项为 $0$。因此，在 $[0,1]$ 上补充定义函数值为 $0$，使得级数逐点有定义。

对于 $x \in (0,1)$，部分和 $S_N(x) = \sum_{n=1}^N x^n \ln x = \ln x \cdot \frac{x(1-x^N)}{1-x}$。和函数 $S(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n \ln x = \frac{x}{1-x} \ln x$，端点处 $S(0)=S(1)=0$。

余项 $R_N(x) = S(x) - S_N(x) = \ln x \cdot \frac{x^{N+1}}{1-x}$。一致收敛要求 $\sup_{x \in [0,1]} |R_N(x)| \to 0$（$N \to \infty$）。

取 $x_N = 1 - \frac{1}{N}$（$N$ 充分大），则 $1-x_N = \frac{1}{N}$，$x_N^{N+1} \approx e^{-1}$，$\ln x_N \approx -\frac{1}{N}$。代入余项得 $|R_N(x_N)| \approx \frac{1/N \cdot e^{-1}}{1/N} = e^{-1} > 0$，故 $\sup |R_N(x)|$ 不趋于 $0$，级数不一致收敛。

令 $u = -\ln x > 0$（$x \in (0,1)$），则 $x = e^{-u}$，$\ln x = -u$，$|\ln(-\ln x)| = |\ln u|$。通项变为 $a_n(u) = e^{-nu} \cdot \frac{u}{1+|\ln u|}$。端点 $x=0$ 和 $x=1$ 处补充定义函数值为 $0$。

当 $0 < u \le 1$ 时，$|\ln u| = -\ln u$，分母 $1-\ln u \ge 1$，且 $\frac{u}{1-\ln u} \le 1$，故 $a_n(u) \le e^{-nu} \le 1$。当 $u \ge 1$ 时，$\frac{u}{1+\ln u} \le u$，故 $a_n(u) \le u e^{-nu}$。函数 $u e^{-nu}$ 在 $u = 1/n$ 处取得最大值 $\frac{1}{ne}$。

对任意 $u>0$，有 $a_n(u) \le \frac{1}{ne}$（因为 $u \le 1$ 时 $a_n(u) \le e^{-nu} \le 1$，但 $1$ 不是收敛级数，需更精细估计。实际上 $u \le 1$ 时 $a_n(u) \le e^{-nu} \cdot 1 \le 1$，但 $\sum 1$ 发散，故需重新估计：当 $u \le 1$ 时，$\frac{u}{1-\ln u} \le \frac{1}{e}$？验证：令 $f(u)=\frac{u}{1-\ln u}$，$f'(u)=\frac{2-\ln u}{(1-\ln u)^2}>0$，最大值在 $u=1$ 处为 $1$，故不能得到小于 $1$ 的常数。但 $e^{-nu}$ 在 $u \le 1$ 时最大为 $1$，因此 $a_n(u) \le 1$ 无法得到收敛级数。需改用另一种放缩：对 $u \in (0,1]$，$\frac{u}{1-\ln u} \le \frac{1}{1-\ln u} \le \frac{1}{1-\ln u}$，但 $\sum e^{-nu}$ 对固定的 $u$ 收敛，但需一致控制。实际上，直接对原函数求最大值：令 $g_n(x)=x^n|\ln x|/(1+|\ln(-\ln x)|)$，通过求导可得最大值在 $x=e^{-1/n}$ 附近，且最大值不超过 $\frac{1}{ne}$。因此 $|a_n(x)| \le \frac{1}{ne}$，而 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{ne}$ 发散，此路不通。

实际上，对 $u \ge 1$，$a_n(u) \le u e^{-nu} \le \frac{1}{ne}$（因为 $u e^{-nu}$ 最大值在 $u=1/n$ 处，但 $1/n \le 1$ 时不在 $u \ge 1$ 区间，需重新考虑：当 $u \ge 1$ 时，$u e^{-nu}$ 在 $u=1$ 处最大，值为 $e^{-n}$，故 $a_n(u) \le e^{-n}$。当 $00$，$a_n(u) \le \max\{e^{-n}, \frac{1}{2e}\}$？但 $e^{-n}$ 很小，而 $\frac{1}{2e}$ 是常数，$\sum \frac{1}{2e}$ 发散。正确做法：注意到 $\sum_{n=1}^\infty e^{-n}$ 收敛，但 $u \in (0,1)$ 时 $a_n(u)$ 不能由 $e^{-n}$ 控制。实际上，对 $u \in (0,1)$，$a_n(u) \le e^{-nu} \le 1$，但 $\sum 1$ 发散，故需用更精细的估计：$a_n(u) \le e^{-nu} \cdot \frac{u}{1-\ln u} \le e^{-nu} \cdot \frac{1}{e}$（因为 $\frac{u}{1-\ln u} \le \frac{1}{e}$ 在 $u \in (0,1)$ 成立？验证：$\frac{u}{1-\ln u}$ 在 $u=1/e$ 处最大，值为 $\frac{1/e}{1+1}=1/(2e)$，小于 $1/e$，故 $a_n(u) \le e^{-nu}/(2e) \le 1/(2e)$，仍为常数。