哈尔滨工业大学 2025年数学分析第10题
📝 题目
10．计算：
（1）$\displaystyle \oint_{C} \frac{y}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $C$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，取逆时针方向．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是圆雉 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(0 \leq z \leq 2)$的外侧。
（3）$\displaystyle \oint_{C} y^{3} \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} y+x^{3} \mathrm{~d} z$ ，其中 $C$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向看为逆时针方向。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断被积函数奇点并应用格林公式
设 $P = \frac{y}{x^2+4y^2}$, $Q = -\frac{x}{x^2+4y^2}$。计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{x^2-4y^2}{(x^2+4y^2)^2}$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{x^2-4y^2}{(x^2+4y^2)^2}$。
因此 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，但原点在曲线内部，且 $P,Q$ 在原点不连续。考虑小椭圆 $C_\varepsilon: x^2+4y^2 = \varepsilon^2$，取逆时针方向。由格林公式，在 $C$ 和 $C_\varepsilon$ 所围区域上积分为0，故 $\oint_C = \oint_{C_\varepsilon}$。
公式：格林公式：$\oint_C Pdx+Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$
提示：注意奇点处不能直接应用格林公式，需挖洞处理。
步骤 2/7
目标：参数化小椭圆并计算积分
在 $C_\varepsilon$ 上，令 $x = \varepsilon \cos \theta$, $2y = \varepsilon \sin \theta$，则 $y = \frac{\varepsilon}{2} \sin \theta$, $dx = -\varepsilon \sin \theta d\theta$, $dy = \frac{\varepsilon}{2} \cos \theta d\theta$。代入被积表达式：
$\frac{y}{x^2+4y^2} = \frac{\frac{\varepsilon}{2} \sin \theta}{\varepsilon^2} = \frac{\sin \theta}{2\varepsilon}$, $-\frac{x}{x^2+4y^2} = -\frac{\varepsilon \cos \theta}{\varepsilon^2} = -\frac{\cos \theta}{\varepsilon}$。
积分：
$\oint_{C_\varepsilon} = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{\sin \theta}{2\varepsilon} \cdot (-\varepsilon \sin \theta) + \left(-\frac{\cos \theta}{\varepsilon}\right) \cdot \left(\frac{\varepsilon}{2} \cos \theta\right) \right] d\theta = \int_0^{2\pi} \left( -\frac{1}{2}\sin^2\theta - \frac{1}{2}\cos^2\theta \right) d\theta = -\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} d\theta = -\pi$。
提示：参数化时注意坐标变换的雅可比，确保方向一致。
步骤 3/7
目标：应用高斯公式并补面
曲面 $S$ 为锥面 $x^2+y^2=z^2$, $0\leq z\leq 2$，外侧。补上底面 $S_1: z=2, x^2+y^2\leq 4$，取上侧，则 $S \cup S_1$ 封闭，外侧。高斯公式：
$\iint_{S\cup S_1} (y-z)dydz + (z-x)dzdx + (x-y)dxdy = \iiint_V \left( \frac{\partial}{\partial x}(y-z) + \frac{\partial}{\partial y}(z-x) + \frac{\partial}{\partial z}(x-y) \right) dV = 0$。
所以 $\iint_S = -\iint_{S_1}$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F} dV$
提示：注意曲面外侧方向，补面方向需与封闭曲面外侧一致。
步骤 4/7
目标：计算底面曲面积分
在 $S_1$ 上，$z=2$，法向量向上，故 $dydz=0$, $dzdx=0$, $dxdy = dxdy$。
$\iint_{S_1} (x-y)dxdy = \iint_{x^2+y^2\leq 4} (x-y) dxdy$。由对称性，$x$ 和 $y$ 的奇函数在对称区域积分为0，故结果为0。因此原积分为0。
提示：利用对称性简化积分计算。
步骤 5/7
目标：应用斯托克斯公式
曲线 $C$ 为球面与平面交线，从z轴正向看逆时针。由斯托克斯公式，
$\oint_C y^3 dx + z^3 dy + x^3 dz = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} dS$，
其中 $\mathbf{F}=(y^3, z^3, x^3)$。计算旋度：
$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial x^3}{\partial y} - \frac{\partial z^3}{\partial z}, \frac{\partial y^3}{\partial z} - \frac{\partial x^3}{\partial x}, \frac{\partial z^3}{\partial x} - \frac{\partial y^3}{\partial y} \right) = (-3z^2, -3x^2, -3y^2)$。
公式：斯托克斯公式：$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$
提示：注意曲线方向与曲面法向量的右手法则。
步骤 6/7
目标：选择曲面并计算法向量
取 $S$ 为平面 $x+y+z=0$ 上被球面截下的圆盘，方向与曲线方向符合右手法则。从z轴正向看逆时针，则法向量向上（与z轴正向夹角小于90°）。平面法向量为 $(1,1,1)$，单位化 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$。则
$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} dS = \iint_S \frac{1}{\sqrt{3}} (-3z^2 -3x^2 -3y^2) dS = -\sqrt{3} \iint_S (x^2+y^2+z^2) dS$。
提示：法向量方向需与曲线方向匹配，否则符号错误。
步骤 7/7
目标：计算曲面积分
在 $S$ 上，由于 $S$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 上，所以 $x^2+y^2+z^2 = 4$。平面 $x+y+z=0$ 过球心，截得圆盘半径为2，面积 $4\pi$。因此
$\iint_S (x^2+y^2+z^2) dS = 4 \cdot \text{面积}(S) = 4 \cdot 4\pi = 16\pi$。
故 $\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} dS = -\sqrt{3} \cdot 16\pi = -16\sqrt{3}\pi$。
提示：注意圆盘半径由球面方程和平面方程共同确定。
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