哈尔滨工业大学 2025年数学分析第1题

1．判断题．正确的给出证明，错误的给出反例． （1）设 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ ，若数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）两个在 $\displaystyle x_{0}$ 附近无界的函数之积仍为无界函数。 （3）若 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续，$\displaystyle u=g(y)$ 在点 $\displaystyle y_{0}=f\left(x_{0}\right)$ 不连续，则复合函数 $\displaystyle u=g(f(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续． （4）一元函数的定积分，若 $\displaystyle |f(x)|$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 可积． （5）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个二次极限都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的二重极限也存在．