哈尔滨工业大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2．解答如下问题：
（1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界．
（2）用两种方法证明函数 $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明一致连续函数在开区间上有界
设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。根据一致连续的定义，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in (a,b)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < 1$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in (a,b): |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$
提示：取 $\varepsilon = 1$ 是为了构造一个固定的变化界限，便于后续放缩。
步骤 2/5
目标：选取参考点和覆盖区间
取一个固定点 $x_0 \in (a,b)$，例如 $x_0 = \frac{a+b}{2}$。由于 $(a,b)$ 的长度为 $b-a$，我们可以用长度为 $\delta$ 的小区间覆盖整个区间。取正整数 $N$ 使得 $N\delta > b-a$，则从 $x_0$ 出发，向左或向右每次移动不超过 $\delta$，最多 $N$ 步即可到达任意 $x \in (a,b)$。
公式：$N \delta > b-a$
提示：这里 $N$ 的存在性由阿基米德性质保证，确保覆盖是有限的。
步骤 3/5
目标：利用链式不等式证明有界
对任意 $x \in (a,b)$，存在点列 $x_0, x_1, x_2, \dots, x_k = x$，其中 $k \leq N$，且相邻两点距离小于 $\delta$。由一致连续性，每一步函数值变化不超过 1，因此 $|f(x) - f(x_0)| < k \cdot 1 \leq N$。从而 $|f(x)| \leq |f(x_0)| + N$ 对所有 $x \in (a,b)$ 成立，故 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有界。
公式：$|f(x)| \leq |f(x_0)| + N$
提示：注意 $N$ 是固定的常数，与 $x$ 无关，因此上界是统一的。
步骤 4/5
目标：方法一：用定义否定证明 $\ln x$ 不一致连续
要证 $\ln x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续，即存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，存在 $x_1, x_2 \in (0,1)$ 满足 $|x_1 - x_2| < \delta$ 但 $|\ln x_1 - \ln x_2| \geq \varepsilon_0$。取 $\varepsilon_0 = 1$，对任意 $\delta > 0$，令 $x_1 = \frac{\delta}{2}$，$x_2 = \delta$（当 $\delta$ 足够小时，两点均在 $(0,1)$ 内）。则 $|x_1 - x_2| = \frac{\delta}{2} < \delta$，而 $|\ln x_1 - \ln x_2| = \ln 2 > 1$，因此不一致连续。
公式：$|\ln(\delta/2) - \ln \delta| = \ln 2 > 1$
提示：构造的点必须保证在区间内，当 $\delta$ 较大时需调整，但这里 $\delta$ 任意小，所以构造有效。
步骤 5/5
目标：方法二：利用反证法和有界性证明 $\ln x$ 不一致连续
假设 $\ln x$ 在 $(0,1)$ 上一致连续，则由第（1）问结论，$\ln x$ 在 $(0,1)$ 上有界。但 $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$，即 $\ln x$ 在 $(0,1)$ 上无界，矛盾。因此假设不成立，$\ln x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。
公式：$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
提示：反证法依赖于第（1）问的结论，但也可作为独立推理：一致连续函数在有限开区间上必有界，而 $\ln x$ 无界，故不一致连续。
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