哈尔滨工业大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3．设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ ．
（1）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 连续．
（2）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微．
（3）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的偏导数连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断连续性条件
函数在$(0,0)$连续当且仅当$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。由于$|\sin(1/(x^2+y^2))|\leq 1$，有$|f(x,y)|\leq (x^2+y^2)^\alpha$。分析$\alpha$：若$\alpha>0$，则$(x^2+y^2)^\alpha\to 0$，极限为0；若$\alpha=0$，$f(x,y)=\sin(1/(x^2+y^2))$极限不存在；若$\alpha<0$，$(x^2+y^2)^\alpha\to +\infty$，但正弦振荡，极限不存在。因此$\alpha>0$时连续。
公式：|f(x,y)|\leq (x^2+y^2)^\alpha
提示：注意正弦函数的有界性，以及$\alpha\leq 0$时极限不存在的原因。
步骤 2/6
目标：计算偏导数存在性
计算$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(h^2)^\alpha \sin(1/h^2)}{h}$。当$\alpha>1/2$时，$|f_x(0,0)|\leq \lim_{h\to 0}|h|^{2\alpha-1}=0$，故$f_x(0,0)=0$；当$\alpha=1/2$时，极限为$\lim_{h\to 0}\frac{|h|\sin(1/h^2)}{h}$，不存在（振荡）；当$\alpha<1/2$时，极限无穷大，不存在。同理$f_y(0,0)=0$当且仅当$\alpha>1/2$。
公式：f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{(h^2)^\alpha \sin(1/h^2)}{h}
提示：注意$h$的正负不影响绝对值，但$\sin(1/h^2)$振荡导致$\alpha=1/2$时极限不存在。
步骤 3/6
目标：判断可微性条件
考虑增量$\Delta f = f(h,k)-f(0,0) = (h^2+k^2)^\alpha \sin(1/(h^2+k^2))$。可微要求$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{|\Delta f|}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$。由于$\frac{|\Delta f|}{\sqrt{h^2+k^2}}\leq (h^2+k^2)^{\alpha-1/2}$，当$\alpha>1/2$时，$\alpha-1/2>0$，极限为0。当$\alpha=1/2$时，$\frac{|\Delta f|}{\sqrt{h^2+k^2}}\leq 1$，但沿$h=k$路径，$\frac{|\Delta f|}{\sqrt{2}|h|}=|\sin(1/(2h^2))|$不趋于0，故不可微。因此$\alpha>1/2$时可微。
公式：\frac{|\Delta f|}{\sqrt{h^2+k^2}}\leq (h^2+k^2)^{\alpha-1/2}
提示：可微性要求所有路径下极限为0，$\alpha=1/2$时存在路径使极限不为0。
步骤 4/6
目标：求偏导函数表达式
当$(x,y)\neq(0,0)$时，对$f(x,y)=(x^2+y^2)^\alpha \sin(1/(x^2+y^2))$求偏导：$f_x = \alpha (x^2+y^2)^{\alpha-1}\cdot 2x \sin(1/(x^2+y^2)) + (x^2+y^2)^\alpha \cos(1/(x^2+y^2))\cdot (-2x/(x^2+y^2)^2) = 2\alpha x (x^2+y^2)^{\alpha-1}\sin(1/(x^2+y^2)) - 2x (x^2+y^2)^{\alpha-2}\cos(1/(x^2+y^2))$。同理$f_y$。
公式：f_x = 2\alpha x (x^2+y^2)^{\alpha-1}\sin\frac{1}{x^2+y^2} - 2x (x^2+y^2)^{\alpha-2}\cos\frac{1}{x^2+y^2}
提示：注意复合函数求导，第二项来自$\sin$的导数，系数为$-2x/(x^2+y^2)^2$。
步骤 5/6
目标：判断偏导数连续性条件
在$(0,0)$处，偏导数为0（当$\alpha>1/2$）。偏导数连续要求$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) = f_x(0,0)=0$。估计$|f_x|$：$|f_x|\leq 2|\alpha| |x| (x^2+y^2)^{\alpha-1} + 2|x| (x^2+y^2)^{\alpha-2}$。利用$|x|\leq \sqrt{x^2+y^2}$，得$|f_x|\leq 2|\alpha| (x^2+y^2)^{\alpha-1/2} + 2 (x^2+y^2)^{\alpha-3/2}$。第一项趋于0当$\alpha>1/2$；第二项趋于0当$\alpha>3/2$。若$\alpha=3/2$，第二项趋于2，不趋于0；若$\alpha<3/2$，第二项发散。因此需要$\alpha>3/2$。
公式：|f_x|\leq 2|\alpha| (x^2+y^2)^{\alpha-1/2} + 2 (x^2+y^2)^{\alpha-3/2}
提示：注意第二项指数$\alpha-3/2$，当$\alpha=3/2$时极限为常数2，不趋于0。
步骤 6/6
目标：总结各问答案
（1）连续性：$\alpha>0$。（2）可微性：$\alpha>1/2$。（3）偏导数连续：$\alpha>3/2$。
提示：注意可微性条件比偏导数存在条件更强，但本题中可微条件与偏导数存在条件相同（$\alpha>1/2$），而偏导数连续需要更大的$\alpha$。
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