哈尔滨工业大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4．分别从微分学和积分学的角度，用五种方法证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{x} \geq 1+x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数并求导
令 $f(x) = e^x - (1+x)$，则 $f'(x) = e^x - 1$。
公式：$f'(x) = e^x - 1$
提示：注意 $f(x)$ 的定义域为全体实数。
步骤 2/7
目标：分析导数符号与单调性
当 $x < 0$ 时，$e^x < 1$，故 $f'(x) < 0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x > 0$ 时，$e^x > 1$，故 $f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增。
提示：注意 $x=0$ 处导数为零，是极小值点。
步骤 3/7
目标：利用极值证明不等式
因此 $f(x) \geq f(0) = 0$，即 $e^x \geq 1+x$，等号在 $x=0$ 时成立。
公式：$f(x) \geq f(0)$
提示：极小值点唯一，所以不等式成立。
步骤 4/7
目标：利用凸函数性质（方法二）
令 $g(x) = e^x$，则 $g''(x) = e^x > 0$，故 $g(x)$ 是凸函数。凸函数在任意点处的切线位于函数图像下方。在 $x=0$ 处，切线为 $y = 1 + x$，因此 $e^x \geq 1+x$。
公式：$g''(x) = e^x > 0$
提示：凸函数的切线不等式：$g(x) \geq g(0) + g'(0)(x-0)$。
步骤 5/7
目标：利用拉格朗日中值定理（方法三）
若 $x > 0$，在 $[0,x]$ 上应用拉格朗日中值定理：存在 $\xi \in (0,x)$ 使得 $e^x - e^0 = e^\xi (x-0)$，即 $e^x - 1 = e^\xi x$。由于 $e^\xi > 1$，故 $e^x - 1 > x$，即 $e^x > 1+x$。若 $x < 0$，在 $[x,0]$ 上应用定理：存在 $\xi \in (x,0)$ 使得 $e^0 - e^x = e^\xi (0-x)$，即 $1 - e^x = -e^\xi x$，整理得 $e^x - 1 = e^\xi x$。由于 $e^\xi < 1$ 且 $x < 0$，故 $e^x - 1 > x$，即 $e^x > 1+x$。当 $x=0$ 时等号成立。
公式：$e^x - e^0 = e^\xi (x-0)$
提示：注意 $x$ 的正负影响 $\xi$ 的范围和不等式方向。
步骤 6/7
目标：利用泰勒公式（方法四）
$e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2!}x^2$，其中 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。由于 $\frac{e^\xi}{2!}x^2 \geq 0$，故 $e^x \geq 1+x$，等号仅当 $x=0$ 时成立。
公式：$e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2!}x^2$
提示：拉格朗日余项非负，注意 $\xi$ 依赖于 $x$。
步骤 7/7
目标：利用积分不等式（方法五）
考虑 $\int_0^x (e^t - 1) dt$。若 $x > 0$，则 $e^t - 1 \geq 0$ 在 $[0,x]$ 上成立，故 $\int_0^x (e^t - 1) dt \geq 0$，即 $e^x - 1 - x \geq 0$，所以 $e^x \geq 1+x$。若 $x < 0$，则 $e^t - 1 \leq 0$ 在 $[x,0]$ 上成立，故 $\int_x^0 (e^t - 1) dt \leq 0$，即 $-(e^x - 1 - x) \leq 0$，所以 $e^x \geq 1+x$。等号在 $x=0$ 时成立。
公式：$\int_0^x (e^t - 1) dt = e^x - 1 - x$
提示：注意积分上下限与 $x$ 正负的关系，被积函数符号不同。
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