哈尔滨工业大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5．若对 $\displaystyle \forall x \in(a, b)$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x) \geq 0, f^{\prime \prime}(x) \leq 0$ ．求证：$\displaystyle f(x) \leq \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ －
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数凹凸性
由条件 $f''(x) \leq 0$ 知 $f(x)$ 是 $(a,b)$ 上的凹函数。凹函数的图像位于任意弦的上方，即对于任意 $x \in [a,b]$，有 $f(x) \geq \frac{b-x}{b-a} f(a) + \frac{x-a}{b-a} f(b)$。
公式：凹函数性质：$f(\lambda a + (1-\lambda)b) \geq \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b)$
提示：注意凹函数（二阶导非正）的图像在弦上方，凸函数在弦下方，不要混淆。
步骤 2/6
目标：对凹函数不等式积分
对不等式 $f(x) \geq \frac{b-x}{b-a} f(a) + \frac{x-a}{b-a} f(b)$ 在 $[a,b]$ 上积分，得
\[
\int_a^b f(x) \, dx \geq \int_a^b \left( \frac{b-x}{b-a} f(a) + \frac{x-a}{b-a} f(b) \right) dx.
\]
提示：积分时注意被积函数是线性函数，可直接计算。
步骤 3/6
目标：计算积分结果
计算右边积分：
\[
\int_a^b \frac{b-x}{b-a} f(a) \, dx = \frac{f(a)}{b-a} \int_a^b (b-x) \, dx = \frac{f(a)}{b-a} \cdot \frac{(b-a)^2}{2} = \frac{f(a)(b-a)}{2},
\]
\[
\int_a^b \frac{x-a}{b-a} f(b) \, dx = \frac{f(b)}{b-a} \int_a^b (x-a) \, dx = \frac{f(b)}{b-a} \cdot \frac{(b-a)^2}{2} = \frac{f(b)(b-a)}{2}.
\]
所以
\[
\int_a^b f(x) \, dx \geq \frac{b-a}{2} (f(a)+f(b)).
\]
公式：定积分计算：$\int_a^b (b-x) dx = \frac{(b-a)^2}{2}$
提示：注意积分变量是 $x$，$f(a)$ 和 $f(b)$ 是常数。
步骤 4/6
目标：推导平均值不等式
由上式可得
\[
\frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \geq f(a)+f(b).
\]
提示：不等式方向不要弄反。
步骤 5/6
目标：利用凹函数最大值性质
由于 $f(x)$ 是凹函数，在闭区间 $[a,b]$ 上，最大值在端点处取得，即 $f(x) \leq \max\{f(a), f(b)\}$。又因为 $f(a)+f(b) \geq \max\{f(a), f(b)\}$，所以
\[
f(x) \leq \max\{f(a), f(b)\} \leq f(a)+f(b) \leq \frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx.
\]
公式：凹函数最大值性质：$\max_{x\in[a,b]} f(x) = \max\{f(a), f(b)\}$
提示：凹函数在闭区间上的最大值在端点处取得，但最小值可能在内部。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，对任意 $x \in (a,b)$，有 $f(x) \leq \frac{2}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$，证毕。
提示：注意题目中 $x$ 属于开区间，但不等式对闭区间也成立。
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