哈尔滨工业大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续且无极大值点，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset(a, b)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\inf _{a<x<b} f(x)$ －
（1）用肯定语言叙述 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \neq \bar{x}$ 的 $\displaystyle \varepsilon-N$ 定义．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，是否有 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ？如果有，请加以证明，否则请举反例．
（3）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：叙述极限不等于某值的ε-N定义
通常，$\lim_{n \to \infty} x_n = \bar{x}$ 的 $\varepsilon$-$N$ 定义是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时，有 $|x_n - \bar{x}| < \varepsilon$。那么“极限不等于 $\bar{x}$”的肯定语言就是上述定义的否定：存在某个 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $N \in \mathbb{N}$，都能找到某个 $n > N$ 满足 $|x_n - \bar{x}| \geq \varepsilon_0$。
公式：\exists \varepsilon_0 > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n > N,\ |x_n - \bar{x}| \geq \varepsilon_0
提示：注意否定形式中量词的顺序：存在性量词与全称量词互换，且不等式方向反向。
步骤 2/4
目标：判断极限点是否必在开区间内
不一定。虽然每个 $x_n$ 都在开区间 $(a,b)$ 内，但极限点可能落在边界上。例如，取 $a=0,\ b=1$，函数 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续且无极大值点（因为单调递增，内部无极大值）。取 $x_n = 1 - \frac{1}{n}$，则 $x_n \to 1$，而 $1 \notin (0,1)$。因此结论是：不一定，极限点可以不在开区间内。
公式：x_n = 1 - \frac{1}{n} \to 1 \notin (0,1)
提示：反例构造的关键是让序列趋近于边界点，同时保证函数在该区间内无极大值点。
步骤 3/4
目标：证明序列极限存在（反证法思路）
已知 $f$ 在 $(a,b)$ 上连续且无极大值点，$\{x_n\} \subset (a,b)$，且 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = m = \inf_{a
公式：\lim_{n \to \infty} f(x_n) = m,\ f(p)=f(q)=m \Rightarrow \text{矛盾}
提示：关键步骤：利用两个不同聚点构造闭区间，利用连续函数最值性质导出极大值点的存在，与题设矛盾。
步骤 4/4
目标：总结证明逻辑
综上，由反证法可知，序列 $\{x_n\}$ 不可能有两个不同的聚点，因此它收敛，即 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在。
提示：注意 Bolzano-Weierstrass 定理保证有界序列必有收敛子列，这是反证法的基础。
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