哈尔滨工业大学 2025年数学分析第7题

7．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_{n}}$ 收玫．记 $$ A_{n}=\sum_{k=1}^{n} p_{k}, B_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{A_{k}^{2}}, C_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_{k}}, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{A_{k}} $$ 证明： （1）$\displaystyle B_{n}<\frac{5}{p_{1}}+2 S_{n}+C_{n}$ ． （2）$\displaystyle S_{n}<\sqrt{B_{n} C_{n}}$ ． （3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 收敛。