天津大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．（10 分）设 $f$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上的连续函数，且 $f$ 在原点沿任意方向的方向导数存在．问：$f$ 在原点是否一定可微？若可微，给出证明，若不可微，给出反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确问题：判断方向导数存在是否蕴含可微
题目给出函数 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 连续，且在原点沿任意方向的方向导数存在。问 $f$ 在原点是否一定可微。需要判断该命题的真伪。
提示：注意方向导数存在是比偏导数存在更强的条件，但未必保证可微。
步骤 2/7
目标：给出结论：不一定可微
结论是：不一定可微。需要构造一个反例，使得函数在原点沿任意方向的方向导数存在，但不可微。
提示：反例通常需要函数在原点附近有奇异性，但方向导数存在。
步骤 3/7
目标：构造反例函数
考虑函数
\[
f(x, y) = \begin{cases}
\frac{x^3}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\
0, & (x, y) = (0, 0)
\end{cases}
\]
该函数在 $\mathbb{R}^2$ 上连续（因为 $|f(x,y)| \leq |x|$，且 $f(0,0)=0$）。
提示：验证连续性：利用 $|x^3/(x^2+y^2)| \leq |x|$，当 $(x,y)\to(0,0)$ 时趋于0。
步骤 4/7
目标：验证沿任意方向的方向导数存在
对任意方向向量 $(u, v) \neq (0, 0)$，计算方向导数：
\[
\lim_{t \to 0} \frac{f(tu, tv) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \cdot \frac{(tu)^3}{(tu)^2 + (tv)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{t^3 u^3}{t^2 (u^2+v^2)} \cdot \frac{1}{t} = \frac{u^3}{u^2+v^2}.
\]
该极限存在，故方向导数存在。
公式：方向导数定义：$D_{(u,v)}f(0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(tu,tv)-f(0,0)}{t}$
提示：注意 $t$ 可正可负，但极限存在且与 $t$ 符号无关。
步骤 5/7
目标：计算偏导数
偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$ 可通过方向导数得到：取方向 $(1,0)$ 得 $f_x(0,0)=1$；取方向 $(0,1)$ 得 $f_y(0,0)=0$。实际上，由方向导数公式，$f_x(0,0)=1^3/(1^2+0^2)=1$，$f_y(0,0)=0^3/(0^2+1^2)=0$。
公式：偏导数与方向导数的关系：$f_x(0,0)=D_{(1,0)}f(0,0)$，$f_y(0,0)=D_{(0,1)}f(0,0)$
提示：注意偏导数存在且有限。
步骤 6/7
目标：假设可微并推导矛盾
若 $f$ 在原点可微，则全微分为 $df = f_x(0,0) dx + f_y(0,0) dy = 1 \cdot dx + 0 \cdot dy = dx$。那么沿任意方向 $(u,v)$ 的方向导数应等于 $f_x(0,0) u + f_y(0,0) v = u$。但实际计算的方向导数为 $\frac{u^3}{u^2+v^2}$。取方向 $(1,1)$，则 $u=1, v=1$，可微要求的方向导数为 $1$，而实际方向导数为 $\frac{1^3}{1^2+1^2} = \frac{1}{2}$，矛盾。
公式：可微的必要条件：方向导数 $D_{(u,v)}f(0,0) = \nabla f(0,0) \cdot (u,v)$
提示：注意可微时方向导数与梯度点积相等，这里梯度为 $(1,0)$。
步骤 7/7
目标：结论：反例成立，原命题不成立
因此，$f$ 在原点沿任意方向的方向导数存在，但不可微。故原命题“方向导数存在蕴含可微”不成立。
提示：该反例说明方向导数存在（甚至所有方向导数存在）不能推出可微，还需要更强的条件如连续可微或偏导数连续。
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