📝 天津大学 2026年数学分析真题
第1题
1．（10 分）设 $f$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上的连续函数，且 $f$ 在原点沿任意方向的方向导数存在．问：$f$ 在原点是否一定可微？若可微，给出证明，若不可微，给出反例．
第2题
2．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)=\sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上非一致连续，在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
第3题
3．（15 分）已知函数
$$
f(x)= \begin{cases}A, & 0 \leq x \leq \pi \\ -A, & -\pi \leq x<0\end{cases}
$$
其中 $\displaystyle A \neq 0$ 为常数，求该函数在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶级数，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．
$$
f(x)= \begin{cases}A, & 0 \leq x \leq \pi \\ -A, & -\pi \leq x<0\end{cases}
$$
其中 $\displaystyle A \neq 0$ 为常数，求该函数在区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 的傅里叶级数，并证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}$ ．
第4题
4．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 的任何有限闭区间上可积，令 $\displaystyle L(s)=\int_{0}^{+\infty} e^{-s x} f(x) \mathrm{d} x$ ，已知 $\displaystyle L\left(s_{0}\right)$ 收敛，证明：$\displaystyle L(s)$ 在 $\displaystyle s \geq s_{0}>0$ 时收敛．
第5题
5．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) e^{n x} \mathrm{~d} x=0$ 对所有 $\displaystyle n=0,1,2, \cdots$ 成立，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
第6题
6．（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}=\left(F^{1}, F^{2}, \cdots, F^{n}\right): \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 在原点可微，且 $\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ ．已知 $\displaystyle \sum_{i, j=1}^{n}\left(\frac{\partial F^{i}(\mathbf{0})}{\partial x_{j}}\right)^{2}<1$ ，证明：存在 $\displaystyle \delta>0$ ，当 $\displaystyle |\mathbf{x}| \leq \delta$ 时，有 $\displaystyle |\mathbf{F}(\mathbf{x})| \leq \delta$ ．
第7题
7．（15 分）设函数 $\displaystyle f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，考虑方程 $\displaystyle f(x)=\operatorname{tg}(x)$
（1）证明：存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle x(t)$ 是方程在 $\displaystyle t \in(-\delta, \delta)$ 上满足 $\displaystyle x(0)=0$ 的唯一解．
（2）求 $\displaystyle x(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处的一阶泰勒展开式．
（1）证明：存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle x(t)$ 是方程在 $\displaystyle t \in(-\delta, \delta)$ 上满足 $\displaystyle x(0)=0$ 的唯一解．
（2）求 $\displaystyle x(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处的一阶泰勒展开式．
第8题
8．（20 分）设 $B$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单位开球，函数 $\displaystyle u \in C^{2}(B) \cap C(\bar{B})$ 满足（i）$u$ 是 $B$ 上的非零函数，（ii）$\displaystyle u \mid \partial B=0$ ， （iii）存在 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{R}$ ，使得在 $B$ 上有 $\displaystyle \Delta u=\lambda u$ ．
（1）证明： $\displaystyle \int_{B}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\lambda \int_{B} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（2）证明：$\displaystyle \lambda<0$ ．
（1）证明： $\displaystyle \int_{B}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\lambda \int_{B} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（2）证明：$\displaystyle \lambda<0$ ．
第9题
9．（20 分）设 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 是严格单调递增趋于 $\displaystyle +\infty$ 的数列，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A(A \in \mathbb{R})$ ．
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=A$ ．
（2）计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}}{n^{k+1}}$ ，其中 $k$ 为正整数．
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=A$ ．
（2）计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}}{n^{k+1}}$ ，其中 $k$ 为正整数．
第10题
10．（15 分）证明：自然数 $e$ 是无理数．