天津大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}=\left(F^{1}, F^{2}, \cdots, F^{n}\right): \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 在原点可微，且 $\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ ．已知 $\displaystyle \sum_{i, j=1}^{n}\left(\frac{\partial F^{i}(\mathbf{0})}{\partial x_{j}}\right)^{2}<1$ ，证明：存在 $\displaystyle \delta>0$ ，当 $\displaystyle |\mathbf{x}| \leq \delta$ 时，有 $\displaystyle |\mathbf{F}(\mathbf{x})| \leq \delta$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用可微性展开F(x)
由于 $\mathbf{F}$ 在原点可微且 $\mathbf{F}(\mathbf{0})=\mathbf{0}$，由可微定义，存在线性映射 $D\mathbf{F}(\mathbf{0}): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$（矩阵为 $A=(a_{ij})$，其中 $a_{ij}=\frac{\partial F^i(\mathbf{0})}{\partial x_j}$），使得 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + o(|\mathbf{x}|)$。即存在 $\delta_1>0$ 和函数 $\mathbf{r}(\mathbf{x})$ 满足 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{0}} \frac{|\mathbf{r}(\mathbf{x})|}{|\mathbf{x}|}=0$，且当 $|\mathbf{x}|\leq \delta_1$ 时，$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{r}(\mathbf{x})$，且对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_2>0$ 使得当 $|\mathbf{x}|\leq \delta_2$ 时 $|\mathbf{r}(\mathbf{x})|\leq \varepsilon|\mathbf{x}|$。
公式：$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + o(|\mathbf{x}|)$
提示：注意可微定义中余项是 $o(|\mathbf{x}|)$，即高阶无穷小，后续需要选取合适的 $\varepsilon$ 来控制余项。
步骤 2/5
目标：估计线性部分A的范数
记 $c = \sqrt{\sum_{i,j} a_{ij}^2}$，由条件 $\sum_{i,j} a_{ij}^2 < 1$ 知 $c<1$。对任意 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$，由 Cauchy-Schwarz 不等式，$|A\mathbf{x}|^2 = \sum_i (\sum_j a_{ij}x_j)^2 \leq \sum_i (\sum_j a_{ij}^2 \sum_j x_j^2) = (\sum_{i,j} a_{ij}^2) |\mathbf{x}|^2 = c^2 |\mathbf{x}|^2$，故 $|A\mathbf{x}| \leq c|\mathbf{x}|$。
公式：$|A\mathbf{x}| \leq c|\mathbf{x}|$，其中 $c<1$
提示：Cauchy-Schwarz 不等式应用时注意求和指标，确保得到正确的上界。
步骤 3/5
目标：选取合适的余项控制参数
取 $\varepsilon = \frac{1-c}{2} > 0$。由可微性，存在 $\delta_2>0$ 使得当 $|\mathbf{x}|\leq \delta_2$ 时，$|\mathbf{r}(\mathbf{x})| \leq \varepsilon |\mathbf{x}|$。
公式：$\varepsilon = \frac{1-c}{2}$
提示：选取 $\varepsilon$ 的目的是使得 $c+\varepsilon<1$，从而得到压缩性质。
步骤 4/5
目标：合并邻域并估计F(x)的范数
令 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则当 $|\mathbf{x}|\leq \delta$ 时，有 $|\mathbf{F}(\mathbf{x})| \leq |A\mathbf{x}| + |\mathbf{r}(\mathbf{x})| \leq c|\mathbf{x}| + \varepsilon|\mathbf{x}| = (c+\varepsilon)|\mathbf{x}| = \frac{1+c}{2}|\mathbf{x}|$。
公式：$|\mathbf{F}(\mathbf{x})| \leq \frac{1+c}{2}|\mathbf{x}|$
提示：注意 $\delta$ 取最小值以保证两个不等式同时成立。
步骤 5/5
目标：证明结论
由于 $\frac{1+c}{2} < 1$，故当 $|\mathbf{x}|\leq \delta$ 时，$|\mathbf{F}(\mathbf{x})| \leq \frac{1+c}{2} \delta < \delta$。因此存在 $\delta>0$ 使得当 $|\mathbf{x}|\leq \delta$ 时，$|\mathbf{F}(\mathbf{x})| \leq \delta$。
提示：最后一步直接代入 $|\mathbf{x}|\leq \delta$ 即可得到 $|\mathbf{F}(\mathbf{x})| < \delta$，注意严格不等式。
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