天津大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) e^{n x} \mathrm{~d} x=0$ 对所有 $\displaystyle n=0,1,2, \cdots$ 成立，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件进行变量替换
由题设，对任意非负整数 $n$，有 $\int_0^1 f(x) e^{nx} dx = 0$。令 $g(x) = f(x) e^{x}$，则 $g(x) \in C[0,1]$，且 $\int_0^1 g(x) e^{(n-1)x} dx = 0$ 对 $n=0,1,2,\ldots$ 成立，即对任意整数 $k \geq -1$，有 $\int_0^1 g(x) e^{kx} dx = 0$。
公式：$\int_0^1 g(x) e^{kx} dx = 0$
提示：注意 $n=0$ 时 $e^{-x}$ 出现，但 $e^{-x}$ 仍连续，所以 $k$ 可以取 $-1$。
步骤 2/5
目标：推广到多项式形式
由于 $e^{kx}$ 的线性组合可生成任意多项式 $P(e^x)$，因此对任意多项式 $P$，有 $\int_0^1 g(x) P(e^x) dx = 0$。
公式：$\int_0^1 g(x) P(e^x) dx = 0$
提示：多项式 $P$ 的系数任意，但注意 $P(e^x)$ 是 $e^x$ 的多项式。
步骤 3/5
目标：换元将积分区间变为 $[1,e]$
令 $t = e^x$，则 $x = \ln t$，$dx = \frac{1}{t} dt$，$t \in [1,e]$。代入得 $\int_1^e g(\ln t) \frac{1}{t} P(t) dt = 0$。定义 $h(t) = \frac{g(\ln t)}{t}$，则 $h(t) \in C[1,e]$，且对任意多项式 $P(t)$，有 $\int_1^e h(t) P(t) dt = 0$。
公式：$\int_1^e h(t) P(t) dt = 0$
提示：注意换元后 $dx$ 的变换，$h(t)$ 连续是因为 $g$ 连续且 $t>0$。
步骤 4/5
目标：应用Weierstrass逼近定理
由Weierstrass逼近定理，存在多项式序列 $\{P_m(t)\}$ 在 $[1,e]$ 上一致收敛于 $h(t)$。于是 $\int_1^e h(t)^2 dt = \lim_{m\to\infty} \int_1^e h(t) P_m(t) dt = 0$。
公式：$\int_1^e h(t)^2 dt = 0$
提示：一致收敛保证极限与积分交换次序。
步骤 5/5
目标：由非负积分推出被积函数为零
由于 $h(t)$ 连续且 $h(t)^2 \geq 0$，由 $\int_1^e h(t)^2 dt = 0$ 得 $h(t) \equiv 0$ 于 $[1,e]$。从而 $g(\ln t) \equiv 0$，即 $g(x) \equiv 0$，所以 $f(x) \equiv 0$。
提示：连续非负函数积分为零则函数恒为零。
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