天津大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 的任何有限闭区间上可积，令 $\displaystyle L(s)=\int_{0}^{+\infty} e^{-s x} f(x) \mathrm{d} x$ ，已知 $\displaystyle L\left(s_{0}\right)$ 收敛，证明：$\displaystyle L(s)$ 在 $\displaystyle s \geq s_{0}>0$ 时收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
已知 $L(s_0)=\int_0^{+\infty} e^{-s_0 x} f(x) \, dx$ 收敛，要证明对于任意 $s \geq s_0 > 0$，$L(s)=\int_0^{+\infty} e^{-s x} f(x) \, dx$ 也收敛。
提示：注意 $s_0>0$ 的条件，确保指数衰减。
步骤 2/5
目标：将 $L(s)$ 改写为与 $L(s_0)$ 相关的形式
由于 $e^{-s x} = e^{-(s-s_0)x} e^{-s_0 x}$，因此 $L(s) = \int_0^{+\infty} e^{-(s-s_0)x} e^{-s_0 x} f(x) \, dx$。令 $g(x) = e^{-(s-s_0)x}$，则 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减且非负，且 $0 < g(x) \leq 1$。
公式：$e^{-s x} = e^{-(s-s_0)x} e^{-s_0 x}$
提示：注意 $s > s_0$ 时 $s-s_0 > 0$，保证 $g(x)$ 递减趋于0。
步骤 3/5
目标：分情况讨论：$L(s_0)$ 绝对收敛
若 $L(s_0)$ 绝对收敛，即 $\int_0^{+\infty} e^{-s_0 x} |f(x)| \, dx$ 收敛。则对于 $L(s)$，有 $|e^{-s x} f(x)| = e^{-(s-s_0)x} e^{-s_0 x} |f(x)| \leq e^{-s_0 x} |f(x)|$。由比较判别法，$L(s)$ 绝对收敛。
公式：$|e^{-s x} f(x)| \leq e^{-s_0 x} |f(x)|$
提示：比较判别法要求被积函数非负，这里取绝对值后比较。
步骤 4/5
目标：分情况讨论：$L(s_0)$ 条件收敛
若 $L(s_0)$ 条件收敛，即 $\int_0^{+\infty} e^{-s_0 x} f(x) \, dx$ 收敛但不绝对收敛。考虑函数 $g(x)=e^{-(s-s_0)x}$，它在 $[0,+\infty)$ 上单调递减且 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$。同时，$\int_0^A e^{-s_0 x} f(x) \, dx$ 关于 $A$ 有界（因为积分收敛）。由狄利克雷判别法，$\int_0^{+\infty} g(x) e^{-s_0 x} f(x) \, dx$ 收敛。
提示：狄利克雷判别法要求：部分积分有界，且 $g(x)$ 单调趋于0。
步骤 5/5
目标：综合结论
无论 $L(s_0)$ 是绝对收敛还是条件收敛，$L(s)$ 在 $s \geq s_0 > 0$ 时都收敛。因此，结论成立。
提示：注意 $s=s_0$ 时显然成立，$s>s_0$ 时由上述讨论。
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