天津大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．（15 分）设函数 $\displaystyle f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，考虑方程 $\displaystyle f(x)=\operatorname{tg}(x)$
（1）证明：存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle x(t)$ 是方程在 $\displaystyle t \in(-\delta, \delta)$ 上满足 $\displaystyle x(0)=0$ 的唯一解．
（2）求 $\displaystyle x(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处的一阶泰勒展开式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义函数并验证隐函数定理条件
定义函数 $F(x,t)=f(x)-t g(x)$。由已知 $f(0)=0$，得 $F(0,0)=0$。计算偏导数 $\frac{\partial F}{\partial x}(x,t)=f'(x)-t g'(x)$，在 $(0,0)$ 处有 $\frac{\partial F}{\partial x}(0,0)=f'(0)\neq 0$。由于 $f,g$ 连续可微，$F$ 连续可微，满足隐函数定理条件。
公式：$F(x,t)=f(x)-t g(x)$，$\frac{\partial F}{\partial x}(0,0)=f'(0)\neq 0$
提示：注意隐函数定理要求 $F$ 连续可微且偏导数非零，这里 $f'(0)\neq 0$ 是关键。
步骤 2/5
目标：应用隐函数定理得到存在唯一解
由隐函数定理，存在 $\delta>0$ 和唯一的连续可微函数 $x(t)$，定义在 $(-\delta,\delta)$ 上，满足 $x(0)=0$ 且 $F(x(t),t)=0$，即 $f(x(t))=t g(x(t))$。因此，$x(t)$ 是方程在 $t\in(-\delta,\delta)$ 上满足 $x(0)=0$ 的唯一解。
提示：隐函数定理保证局部存在唯一性，注意 $\delta$ 可能很小。
步骤 3/5
目标：对隐函数方程求导
对方程 $f(x(t))=t g(x(t))$ 两边关于 $t$ 求导，应用链式法则得 $f'(x(t)) x'(t) = g(x(t)) + t g'(x(t)) x'(t)$。
公式：$f'(x(t)) x'(t) = g(x(t)) + t g'(x(t)) x'(t)$
提示：注意右边是乘积的导数：$\frac{d}{dt}[t g(x(t))] = g(x(t)) + t g'(x(t)) x'(t)$。
步骤 4/5
目标：代入 $t=0$ 求解 $x'(0)$
代入 $t=0$，此时 $x(0)=0$，得 $f'(0) x'(0) = g(0) + 0 \cdot g'(0) x'(0) = g(0)$。由于 $f'(0)\neq 0$，解得 $x'(0) = \frac{g(0)}{f'(0)}$。
公式：$x'(0) = \frac{g(0)}{f'(0)}$
提示：确保 $f'(0)\neq 0$ 才能除法，这是题目条件。
步骤 5/5
目标：写出泰勒展开式
函数 $x(t)$ 在 $t=0$ 处的一阶泰勒展开式为 $x(t) = x(0) + x'(0) t + o(t) = 0 + \frac{g(0)}{f'(0)} t + o(t) = \frac{g(0)}{f'(0)} t + o(t)$。
公式：$x(t) = \frac{g(0)}{f'(0)} t + o(t)$
提示：注意 $o(t)$ 表示高阶无穷小，泰勒展开式要求函数可微。
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