天津大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $B$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单位开球，函数 $\displaystyle u \in C^{2}(B) \cap C(\bar{B})$ 满足（i）$u$ 是 $B$ 上的非零函数，（ii）$\displaystyle u \mid \partial B=0$ ， （iii）存在 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{R}$ ，使得在 $B$ 上有 $\displaystyle \Delta u=\lambda u$ ．
（1）证明： $\displaystyle \int_{B}|\nabla u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\lambda \int_{B} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．
（2）证明：$\displaystyle \lambda<0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件将Δu替换为λu，并写出积分等式
由条件（iii），在B上有Δu = λu。两边乘以u并在B上积分，得
\[
\int_B u \Delta u \, dV = \lambda \int_B u^2 \, dV.
\]
公式：\int_B u \Delta u \, dV = \lambda \int_B u^2 \, dV
提示：注意dV表示体积元dxdydz，积分区域是单位开球B。
步骤 2/5
目标：应用格林第一恒等式处理左端积分
格林第一恒等式：
\[
\int_B u \Delta u \, dV = \int_{\partial B} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS - \int_B |\nabla u|^2 \, dV.
\]
其中∂B是单位球面，n是外法向。
公式：\int_B u \Delta u \, dV = \int_{\partial B} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS - \int_B |\nabla u|^2 \, dV
提示：格林第一恒等式是散度定理的直接推论，注意符号。
步骤 3/5
目标：利用边界条件简化面积分
由条件（ii），在边界∂B上u=0，因此面积分项为零：
\[
\int_{\partial B} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = 0.
\]
于是
\[
\int_B u \Delta u \, dV = - \int_B |\nabla u|^2 \, dV.
\]
公式：\int_B u \Delta u \, dV = - \int_B |\nabla u|^2 \, dV
提示：边界条件u=0是齐次Dirichlet边界条件，这是关键。
步骤 4/5
目标：联立两个表达式得到所需等式
由第一步和第三步的结果：
\[
- \int_B |\nabla u|^2 \, dV = \lambda \int_B u^2 \, dV.
\]
移项即得
\[
\int_B |\nabla u|^2 \, dV + \lambda \int_B u^2 \, dV = 0.
\]
这就是要证明的等式。
公式：\int_B |\nabla u|^2 \, dV + \lambda \int_B u^2 \, dV = 0
提示：移项时注意符号，最终等式是零。
步骤 5/5
目标：由(1)的等式推导λ<0
由(1)的等式可得
\[
\int_B |\nabla u|^2 \, dV = -\lambda \int_B u^2 \, dV.
\]
左边是梯度的L²模平方，显然非负。由于u在B上非零（条件i）且连续，且边界为零，u不可能恒为常数，因此梯度不几乎处处为零，故左边严格大于0：
\[
\int_B |\nabla u|^2 \, dV > 0.
\]
于是右边也大于0：
\[
-\lambda \int_B u^2 \, dV > 0.
\]
而∫_B u² dV > 0（因为u非零连续），所以必须有-λ > 0，即λ < 0。
公式：\int_B |\nabla u|^2 \, dV = -\lambda \int_B u^2 \, dV > 0 \Rightarrow -\lambda > 0 \Rightarrow \lambda < 0
提示：注意u非零且连续，所以u²的积分严格为正；梯度积分严格为正是因为若梯度几乎处处为零则u为常数，结合边界条件u=0会导致u恒为零，与条件(i)矛盾。
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