天津大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．（20 分）设 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 是严格单调递增趋于 $\displaystyle +\infty$ 的数列，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A(A \in \mathbb{R})$ ．
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=A$ ．
（2）计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}}{n^{k+1}}$ ，其中 $k$ 为正整数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用Stolz定理证明(1)
由题意，数列$\{b_n\}$严格单调递增且趋于$+\infty$，且$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A$。根据Stolz定理（$\frac{\infty}{\infty}$型），直接得到$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A$。
公式：Stolz定理：若$\{b_n\}$严格单调递增趋于$+\infty$，且$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=L$，则$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L$。
提示：注意Stolz定理的条件：$b_n$必须严格单调且趋于无穷，且极限存在。
步骤 2/6
目标：构造数列并验证条件
令$a_n=1^k+2^k+\cdots+n^k$，$b_n=n^{k+1}$。则$b_n$严格单调递增且趋于$+\infty$，满足Stolz定理的条件。
提示：确保$b_n$严格单调递增：$n^{k+1}$在$n\geq1$时严格递增。
步骤 3/6
目标：计算差商
计算$\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=\frac{n^k}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}$。
提示：注意$a_n-a_{n-1}=n^k$。
步骤 4/6
目标：展开分母
利用二项式定理展开$(n-1)^{k+1}=\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{k+1-j}(-1)^j$，则分母$n^{k+1}-(n-1)^{k+1}=\sum_{j=1}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{k+1-j}(-1)^{j-1}=(k+1)n^k+\cdots+(-1)^k$。
公式：二项式定理：$(x+y)^m=\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}x^{m-j}y^j$
提示：注意符号：$(n-1)^{k+1}$展开后，$n^{k+1}-(n-1)^{k+1}$中$j=0$项抵消，$j=1$项为$(k+1)n^k$。
步骤 5/6
目标：求差商的极限
因此$\frac{n^k}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}=\frac{n^k}{(k+1)n^k+O(n^{k-1})}=\frac{1}{k+1+O(1/n)}\to\frac{1}{k+1}$当$n\to\infty$。
提示：注意$O(n^{k-1})$表示低阶项，除以$n^k$后趋于0。
步骤 6/6
目标：应用(1)的结论得到结果
由(1)的结论，$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}$。
提示：直接代入Stolz定理的结果。
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