天津大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10．（15 分）证明：自然数 $e$ 是无理数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：反证法假设
假设 $e$ 是有理数，则存在正整数 $p, q$ 使得 $e = \frac{p}{q}$，且 $\gcd(p,q)=1$。
提示：注意 $p,q$ 互质，但后续推导中并不需要用到互质条件。
步骤 2/7
目标：写出 $e$ 的级数展开
自然常数 $e$ 可以展开为无穷级数：
$$ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots $$
公式：e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
提示：注意 $0! = 1$，第一项为 $1$。
步骤 3/7
目标：乘以 $q!$ 构造整数
将 $e = \frac{p}{q}$ 代入级数，两边乘以 $q!$：
$$ \frac{p}{q} \cdot q! = q! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} $$
左边为整数：$\frac{p}{q} \cdot q! = p \cdot (q-1)!$。
提示：注意 $q!$ 是整数，乘以有理数后得到整数。
步骤 4/7
目标：拆分级数
将右边拆分为前 $q$ 项和余项：
$$ q! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \sum_{n=0}^{q} \frac{q!}{n!} + \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!} $$
其中 $\sum_{n=0}^{q} \frac{q!}{n!}$ 是整数，因为当 $n \leq q$ 时 $\frac{q!}{n!}$ 是整数。
提示：注意 $n$ 从 $0$ 到 $q$ 的每一项都是整数，因为 $q!$ 包含 $n!$ 的所有因子。
步骤 5/7
目标：分析余项 $R$
令余项 $R = \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!}$。将 $R$ 展开：
$$ R = \frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)(q+2)} + \frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)} + \cdots $$
显然 $R > 0$。
公式：R = \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!}
提示：注意 $\frac{q!}{n!} = \frac{1}{(q+1)(q+2)\cdots n}$。
步骤 6/7
目标：放缩余项 $R$
对 $R$ 进行放缩：
$$ R < \frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)^2} + \frac{1}{(q+1)^3} + \cdots = \frac{\frac{1}{q+1}}{1-\frac{1}{q+1}} = \frac{1}{q} $$
因此 $0 < R < \frac{1}{q} \leq 1$。
公式：\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(q+1)^k} = \frac{1}{q}
提示：放缩时每一项分母都缩小，所以和变大，但这里用等比数列求和得到上界。注意 $q$ 是正整数，$\frac{1}{q} \leq 1$。
步骤 7/7
目标：导出矛盾
由步骤3和4，左边 $p \cdot (q-1)!$ 是整数，右边 $\sum_{n=0}^{q} \frac{q!}{n!}$ 是整数，所以 $R$ 必须是整数。但 $0 < R < 1$，不存在这样的整数，矛盾。因此假设错误，$e$ 是无理数。
提示：注意 $R$ 是整数是因为整数减整数等于整数。
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