天津大学 2026年数学分析第3题

函数 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上定义为：当 $0 \leq x \leq \pi$ 时 $f(x)=A$，当 $-\pi \leq x < 0$ 时 $f(x)=-A$。由于 $f(-x) = -f(x)$，所以 $f(x)$ 是奇函数。因此傅里叶级数只包含正弦项，余弦项系数 $a_n=0$。

利用公式 $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$。由于 $f(x)$ 是奇函数，$\sin(nx)$ 是奇函数，乘积为偶函数，故 $b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} A \sin(nx) \, dx = \frac{2A}{\pi} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2A}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) = \frac{2A}{n\pi} (1 - (-1)^n)$。

当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k-1$，则 $b_{2k-1} = \frac{4A}{(2k-1)\pi}$。因此傅里叶级数为：$$f(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4A}{(2k-1)\pi} \sin((2k-1)x).$$

在 $x = \frac{\pi}{2}$ 处，$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = A$（因为 $0 \leq \frac{\pi}{2} \leq \pi$）。代入级数得：$$A = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4A}{(2k-1)\pi} \sin\left((2k-1)\frac{\pi}{2}\right) = \frac{4A}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}.$$两边除以 $A$（$A \neq 0$）得：$$1 = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \quad \Rightarrow \quad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} = \frac{\pi}{4}.$$

对于奇函数 $f(x)$，Parseval 等式为：$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2 \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2.$$左边：$[f(x)]^2 = A^2$，积分得 $\frac{1}{\pi} \cdot 2\pi A^2 = 2A^2$。右边：$b_n^2 = \left(\frac{2A}{n\pi}(1-(-1)^n)\right)^2$，当 $n$ 为奇数时 $b_n^2 = \frac{16A^2}{n^2\pi^2}$，偶数时为零。所以右边 $= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{16A^2}{(2k-1)^2\pi^2} = \frac{16A^2}{\pi^2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2}$。

由 Parseval 等式得：$$2A^2 = \frac{16A^2}{\pi^2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2}.$$两边除以 $16A^2/\pi^2$（$A \neq 0$）得：$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}.$$证毕。