天津大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)=\sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上非一致连续，在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明非一致连续：构造两个点列
取 $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n\pi + \pi/2}}$，$y_n = \frac{1}{\sqrt{2n\pi}}$，则当 $n\to\infty$ 时，$x_n, y_n \to 0$，且 $x_n, y_n \in (0,1]$。
提示：注意选取的点列应使得函数值差为常数，且自变量差趋于0。
步骤 2/7
目标：计算自变量差的极限
计算 $|x_n - y_n|$：
$$|x_n - y_n| = \left|\frac{1}{\sqrt{2n\pi + \pi/2}} - \frac{1}{\sqrt{2n\pi}}\right| = \frac{\sqrt{2n\pi} - \sqrt{2n\pi + \pi/2}}{\sqrt{2n\pi}\sqrt{2n\pi + \pi/2}} = \frac{-\pi/2}{\sqrt{2n\pi}\sqrt{2n\pi + \pi/2}(\sqrt{2n\pi} + \sqrt{2n\pi + \pi/2})}.$$
取绝对值：
$$|x_n - y_n| = \frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi}\sqrt{2n\pi + \pi/2}(\sqrt{2n\pi} + \sqrt{2n\pi + \pi/2})} \sim \frac{\pi/2}{2n\pi \cdot 2\sqrt{2n\pi}} = \frac{1}{8n\sqrt{2n\pi}} \to 0.$$
因此，当 $n$ 充分大时，$|x_n - y_n|$ 可以任意小。
公式：$$|x_n - y_n| = \frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi}\sqrt{2n\pi + \pi/2}(\sqrt{2n\pi} + \sqrt{2n\pi + \pi/2})}$$
提示：注意分母有理化时的符号，以及渐近估计时保留主要项。
步骤 3/7
目标：计算函数值差
计算 $|f(x_n) - f(y_n)|$：
$$|f(x_n) - f(y_n)| = \left|\sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) - \sin(2n\pi)\right| = |1 - 0| = 1.$$
提示：注意 $"\sin(2n\pi + \pi/2) = 1$，$"\sin(2n\pi) = 0$。
步骤 4/7
目标：得出非一致连续的结论
取 $\varepsilon_0 = 1$，则对任意 $\delta > 0$，存在充分大的 $n$ 使得 $|x_n - y_n| < \delta$，但 $|f(x_n) - f(y_n)| = 1 \geq \varepsilon_0$。因此 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上非一致连续。
提示：非一致连续的定义：存在 $\varepsilon_0 > 0$，对任意 $\delta > 0$，存在两点 $x,y$ 满足 $|x-y|<\delta$ 但 $|f(x)-f(y)|\geq \varepsilon_0$。
步骤 5/7
目标：证明一致连续：求导并估计导数有界
考虑 $f(x) = \sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ 在 $[1,+\infty)$ 上的导数：
$$f'(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right).$$
在 $[1,+\infty)$ 上，$|f'(x)| \leq \frac{2}{x^3} \leq 2$，因此导数有界。
公式：$$f'(x) = -\frac{2}{x^3}\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$$
提示：注意复合函数求导法则，以及余弦函数绝对值不超过1。
步骤 6/7
目标：利用拉格朗日中值定理得到Lipschitz条件
由拉格朗日中值定理，对任意 $x,y \in [1,+\infty)$，存在 $\xi$ 介于 $x,y$ 之间，使得
$$|f(x)-f(y)| = |f'(\xi)||x-y| \leq 2|x-y|.$$
因此 $f$ 满足Lipschitz条件，Lipschitz常数为2。
公式：$$|f(x)-f(y)| \leq 2|x-y|$$
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续，开区间内可导，这里 $[1,+\infty)$ 上满足条件。
步骤 7/7
目标：得出一致连续的结论
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon/2$，则当 $x,y \in [1,+\infty)$ 且 $|x-y| < \delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。
提示：一致连续定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-y|<\delta$ 时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。这里 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x,y$。
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