安徽师范大学 2021年数学分析第10题

设 $P = \frac{-y}{x^2+y^2}$, $Q = \frac{x}{x^2+y^2}$，则当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，计算偏导数： $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(x^2+y^2) + y \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2},$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{x^2+y^2 - x \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}.$$ 因此 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $(x,y) \neq (0,0)$ 处成立。

若原点 $(0,0)$ 不在 $D$ 内，则 $P,Q$ 在 $D$ 上连续可微，由格林公式： $$\oint_L \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2} = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \iint_D 0 \, dxdy = 0.$$

若原点 $(0,0)$ 在 $D$ 内，则 $P,Q$ 在原点处不连续，不能直接应用格林公式。取充分小的 $\varepsilon > 0$，使得圆周 $C_\varepsilon: x^2+y^2 = \varepsilon^2$ 完全包含在 $D$ 内，且 $L$ 与 $C_\varepsilon$ 不相交。在 $L$ 与 $C_\varepsilon$ 所围成的复连通区域上应用格林公式（注意方向：$L$ 取正向，$C_\varepsilon$ 取负向），得： $$\oint_L \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2} + \oint_{C_\varepsilon^-} \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2} = 0,$$ 即 $$\oint_L \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2} = \oint_{C_\varepsilon} \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2}.$$

在 $C_\varepsilon$ 上，参数化：$x = \varepsilon \cos \theta$, $y = \varepsilon \sin \theta$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，则 $dx = -\varepsilon \sin \theta d\theta$, $dy = \varepsilon \cos \theta d\theta$。计算： $$x dy - y dx = \varepsilon^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) d\theta = \varepsilon^2 d\theta,$$ $$x^2+y^2 = \varepsilon^2,$$ 因此 $$\frac{x dy - y dx}{x^2+y^2} = d\theta.$$ 于是 $$\oint_{C_\varepsilon} \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2} = \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi.$$

因此，当原点在 $D$ 内时，积分值为 $2\pi$。综上， $$\oint_L \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2} = \begin{cases} 0, & \text{若原点不在 } D \text{ 内},\\ 2\pi, & \text{若原点在 } D \text{ 内}. \end{cases}$$