安徽师范大学 2021年数学分析第9题
📝 题目
9．利用二重积分证．明：概率积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入二重积分
考虑二重积分 $\iint_{D} e^{-x^2 - y^2} \, dxdy$，其中 $D$ 为第一象限区域（$x \ge 0, y \ge 0$）。
提示：注意积分区域为第一象限，包括坐标轴。
步骤 2/5
目标：极坐标变换计算二重积分
利用极坐标变换：令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $dxdy = r\, drd\theta$，积分区域 $D$ 对应 $0 \le r < +\infty$, $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。于是
\[
\iint_{D} e^{-x^2 - y^2} \, dxdy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2} r \, dr.
\]
公式：极坐标变换公式：$dxdy = r\, drd\theta$
提示：注意雅可比行列式为 $r$，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：计算极坐标下的积分
计算内层积分：$\int_{0}^{+\infty} e^{-r^2} r \, dr = \left[ -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_{0}^{+\infty} = \frac{1}{2}$。外层积分：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}$。因此二重积分值为 $\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\int e^{-r^2} r \, dr = -\frac{1}{2} e^{-r^2}$
提示：计算 $\int_{0}^{+\infty} e^{-r^2} r \, dr$ 时，注意 $r$ 的积分限和指数函数的极限。
步骤 4/5
目标：将二重积分化为累次积分
另一方面，将二重积分化为累次积分：
\[
\iint_{D} e^{-x^2 - y^2} \, dxdy = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \int_{0}^{+\infty} e^{-y^2} \, dy = \left( \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \right)^2.
\]
公式：累次积分公式：$\iint_D f(x)g(y) \, dxdy = \int f(x) \, dx \int g(y) \, dy$
提示：注意被积函数可分离变量，且积分区域为矩形。
步骤 5/5
目标：建立方程并求解
由以上两种方法得到的结果相等，有
\[
\left( \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \right)^2 = \frac{\pi}{4}.
\]
因此
\[
\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.
\]
提示：开方时取正值，因为被积函数为正。
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