安徽师范大学 2022年数学分析第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (0,1)$ 上的凸函数．
证明（1）对任意 $\displaystyle x, y \in(0,1), x<y$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(x, y)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq f_{-}^{\prime}(\xi)$ ；
（2）$\displaystyle f(x)$ 的左导数为左连续的，即对任意 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f_{-}^{\prime}(x)=f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用凸函数性质建立差商与导数的关系
由于 $f$ 是凸函数，对任意 $x
公式：f'_+(x) \le \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \le f'_-(y)
提示：注意凸函数左右导数存在且单调递增，但此处仅需差商介于两者之间。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数并利用单调性
固定 $y$，定义函数 $\phi(t)=\frac{f(y)-f(t)}{y-t}$ 对 $t
公式：\phi(t)=\frac{f(y)-f(t)}{y-t},\quad \phi(x)\le \phi(\xi)
提示：这里利用了单调函数值域的性质，无需左连续性。
步骤 3/6
目标：利用凸性将 $\phi(\xi)$ 与左导数联系
由凸函数的性质，对任意 $\xi
公式：\frac{f(y)-f(x)}{y-x} \le f'_-(\xi)
提示：注意 $\xi$ 严格在 $(x,y)$ 内部，不是端点。
步骤 4/6
目标：证明左导数左连续：先证左极限存在且不超过函数值
由于凸函数的左导数 $f'_-(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，故对任意 $x_0\in(0,1)$，极限 $L=\lim_{x\to x_0^-} f'_-(x)$ 存在。由单调性，对任意 $x
公式：L = \lim_{x\to x_0^-} f'_-(x) \le f'_-(x_0)
提示：单调函数必有单侧极限，这是实分析基本结论。
步骤 5/6
目标：证明反向不等式：利用左导数定义和凸性
取 $h>0$ 充分小，令 $x=x_0-h$。由左导数定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当 $0 f'_-(x_0) - \varepsilon.
\]
由凸性，对任意 $u\in(x,x_0)$，有 $\frac{f(x_0)-f(u)}{x_0-u} \le f'_-(x_0)$ 且 $f'_-(u) \ge \frac{f(x_0)-f(u)}{x_0-u}$。取 $u$ 充分接近 $x_0$，则 $f'_-(u)$ 可任意接近 $f'_-(x_0)$，从而 $L \ge f'_-(x_0)$。
公式：f'_-(u) \ge \frac{f(x_0)-f(u)}{x_0-u} \to f'_-(x_0) \quad (u\to x_0^-)
提示：这里需要结合差商的单调性和极限的保序性，严格推导需用 $\varepsilon-\delta$ 语言。
步骤 6/6
目标：综合得到左连续性
由 $L\le f'_-(x_0)$ 和 $L\ge f'_-(x_0)$ 得 $L = f'_-(x_0)$，即 $\lim_{x\to x_0^-} f'_-(x) = f'_-(x_0)$，证毕。
公式：\lim_{x\to x_0^-} f'_-(x) = f'_-(x_0)
提示：左连续性的证明依赖于凸函数左导数的单调性和定义，注意与右导数的区别。
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