📝 安徽师范大学 2022年数学分析真题

1．设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (0,1)$ 上的凸函数．
证明（1）对任意 $\displaystyle x, y \in(0,1), x<y$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(x, y)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq f_{-}^{\prime}(\xi)$ ；
（2）$\displaystyle f(x)$ 的左导数为左连续的，即对任意 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f_{-}^{\prime}(x)=f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．

2．设 $\displaystyle F(x, y)$ 在以 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为中心的矩形区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 . y=f(x)$ 为 $\displaystyle F(x, y)=0$ 所确定的隐函数．证明：当 $\displaystyle F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $\displaystyle F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 同号时，$\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处取得极大值 $\displaystyle y_{0}$ ．

4．证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 收玫，并求其值．

5．运用极限定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}$ ．

6．（1）求 $\displaystyle \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x-\ln x}\right)$ ；（2）求 $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^{2}} d x$ ．

7．设 $\displaystyle u=2 x+y, v=x-y, L$ 为平面曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2022$ ，取逆时针方向，求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{u d v-v d u}{u^{2}+v^{2}}$ ．

9．写出 $\displaystyle f(x)=\arctan x$ 在 $\displaystyle x_{0}=0$ 的幂级数展开式，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ；
（2）存在两个互异的点 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\eta_{1}\right) f^{\prime}\left(\eta_{2}\right)=1$