安徽师范大学 2022年数学分析第6题
📝 题目
6．（1）求 $\displaystyle \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x-\ln x}\right)$ ；（2）求 $\displaystyle \int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^{2}} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求导第一问：应用商的求导法则
设 $f(x)=\frac{1}{x-\ln x}$，则 $f'(x) = -\frac{(x-\ln x)'}{(x-\ln x)^2}$。计算分子导数：$(x-\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$。因此 $f'(x) = -\frac{1-\frac{1}{x}}{(x-\ln x)^2}$。
公式：$\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$
提示：注意商的求导法则中负号的位置，以及$\ln x$的导数为$\frac{1}{x}$。
步骤 2/5
目标：化简第一问结果
将分子通分：$1-\frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$。代入得 $f'(x) = -\frac{\frac{x-1}{x}}{(x-\ln x)^2} = -\frac{x-1}{x(x-\ln x)^2}$。
提示：通分时注意分母$x$不要遗漏，最终结果要写成最简形式。
步骤 3/5
目标：观察第二问被积函数与第一问导数的关系
第一问结果为 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x-\ln x}\right) = -\frac{x-1}{x(x-\ln x)^2}$。而第二问被积函数为 $\frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}$。两者形式不同，但注意到 $\frac{x-1}{x} = 1-\frac{1}{x}$，而 $1-\ln x$ 与 $1-\frac{1}{x}$ 不同，因此需要寻找其他原函数。
提示：不要直接认为被积函数是导数的常数倍，需要进一步分析。
步骤 4/5
目标：尝试对 $\frac{\ln x}{x-\ln x}$ 求导
设 $g(x)=\frac{\ln x}{x-\ln x}$，应用商的求导法则：$g'(x) = \frac{\frac{1}{x}(x-\ln x) - \ln x \cdot (1-\frac{1}{x})}{(x-\ln x)^2}$。化简分子：$\frac{1}{x}(x-\ln x) = 1 - \frac{\ln x}{x}$，$\ln x \cdot (1-\frac{1}{x}) = \ln x - \frac{\ln x}{x}$。相减得 $(1 - \frac{\ln x}{x}) - (\ln x - \frac{\ln x}{x}) = 1 - \ln x$。因此 $g'(x) = \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}$。
公式：商的求导法则：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
提示：计算分子时注意合并同类项，$\frac{\ln x}{x}$项恰好抵消。
步骤 5/5
目标：写出第二问积分结果
由 $g'(x) = \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2}$，得 $\int \frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^2} dx = g(x) + C = \frac{\ln x}{x-\ln x} + C$。
公式：$\int f'(x) dx = f(x) + C$
提示：不要忘记积分常数$C$。
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