安徽师范大学 2022年数学分析第5题
📝 题目
5．运用极限定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简函数表达式
首先，化简函数 $\frac{x(x-1)}{x^2-1}$。注意到分母 $x^2-1 = (x-1)(x+1)$，因此当 $x \neq 1$ 时，有
$$
\frac{x(x-1)}{x^2-1} = \frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{x+1}.
$$
公式：$x^2-1 = (x-1)(x+1)$
提示：注意 $x \neq 1$，因为原函数在 $x=1$ 处无定义，但极限考虑的是 $x$ 趋近于1但不等于1。
步骤 2/4
目标：计算差值的绝对值
计算 $\left| \frac{x(x-1)}{x^2-1} - \frac{1}{2} \right|$。利用化简结果，有
$$
\left| \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2} \right| = \left| \frac{2x - (x+1)}{2(x+1)} \right| = \left| \frac{x-1}{2(x+1)} \right| = \frac{|x-1|}{2|x+1|}.
$$
公式：$\frac{x}{x+1} - \frac{1}{2} = \frac{x-1}{2(x+1)}$
提示：通分时注意分子分母的符号，确保计算正确。
步骤 3/4
目标：限制x的范围以简化分母
由于 $x \to 1$，我们可以限制 $x$ 在1附近，例如取 $|x-1| < 1$，则 $0 < x < 2$，从而 $x+1 > 1$，即 $\frac{1}{|x+1|} < 1$。于是有
$$
\frac{|x-1|}{2|x+1|} < \frac{|x-1|}{2}.
$$
公式：$|x-1| < 1 \Rightarrow x+1 > 1 \Rightarrow \frac{1}{|x+1|} < 1$
提示：限制 $|x-1| < 1$ 是为了保证 $x+1$ 为正且大于1，从而放缩不等式。注意 $x$ 不能等于-1，但在此范围内 $x+1>0$。
步骤 4/4
目标：选择δ并完成证明
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \min\{1, 2\varepsilon\}$。则当 $0 < |x-1| < \delta$ 时，有 $|x-1| < 1$ 且 $|x-1| < 2\varepsilon$，因此
$$
\left| \frac{x(x-1)}{x^2-1} - \frac{1}{2} \right| = \frac{|x-1|}{2|x+1|} < \frac{|x-1|}{2} < \frac{2\varepsilon}{2} = \varepsilon.
$$
由极限定义，$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x(x-1)}{x^2-1} = \frac{1}{2}$。
公式：$\delta = \min\{1, 2\varepsilon\}$
提示：取 $\delta$ 为两个数的最小值，确保同时满足 $|x-1|<1$ 和 $|x-1|<2\varepsilon$。注意最后一步放缩时使用了 $|x-1| < 2\varepsilon$。
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