安徽师范大学 2022年数学分析第4题
📝 题目
4．证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 收玫，并求其值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分类型与奇点
积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ 在 $x=0$ 处被积函数有可去奇点，因为 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，所以 $x=0$ 不是瑕点。因此只需考虑无穷远处的收敛性。
公式：$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$
提示：注意 $x=0$ 处不是瑕点，不要误判为瑕积分。
步骤 2/6
目标：应用Dirichlet判别法证明收敛
考虑积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$。令 $f(x)=\sin x$，$g(x)=\frac{1}{x}$。则 $\left|\int_{0}^{A} \sin x dx\right| = |1-\cos A| \leq 2$，有界；$g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且趋于 $0$。由Dirichlet判别法，$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ 收敛，从而原积分收敛。
公式：Dirichlet判别法：若 $\int_{a}^{b} f$ 有界，$g$ 单调趋于0，则 $\int_{a}^{b} fg$ 收敛。
提示：注意 $f$ 的积分有界性需验证，$g$ 的单调性不可忽略。
步骤 3/6
目标：引入含参积分
定义 $I(t)=\int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \frac{\sin x}{x} dx$，其中 $t\geq 0$。当 $t=0$ 时即为所求积分。由于 $e^{-tx}$ 的引入保证了积分的一致收敛性，便于求导。
公式：$$I(t)=\int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \frac{\sin x}{x} dx$$
提示：含参积分求导需验证一致收敛性，但此处可默认。
步骤 4/6
目标：对参数求导并计算导数积分
对 $t$ 求导得 $I'(t) = -\int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \sin x dx$。计算该积分：利用分部积分或公式，$\int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \sin x dx = \frac{1}{t^2+1}$（$t>0$）。因此 $I'(t) = -\frac{1}{t^2+1}$。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \sin x dx = \frac{1}{t^2+1}$$
提示：计算 $\int e^{-tx}\sin x dx$ 时注意符号，可用两次分部积分或查表。
步骤 5/6
目标：积分求原函数并确定常数
由 $I'(t) = -\frac{1}{t^2+1}$ 积分得 $I(t) = -\arctan t + C$。令 $t\to +\infty$，则 $I(t)\to 0$，而 $\arctan t \to \frac{\pi}{2}$，故 $C = \frac{\pi}{2}$。所以 $I(t) = \frac{\pi}{2} - \arctan t$。
公式：$$\int -\frac{1}{t^2+1} dt = -\arctan t + C$$
提示：确定常数时利用极限 $\lim_{t\to +\infty} I(t)=0$，注意 $\arctan(+\infty)=\frac{\pi}{2}$。
步骤 6/6
目标：取极限得到积分值
令 $t\to 0^+$，则 $I(0) = \frac{\pi}{2} - \arctan 0 = \frac{\pi}{2}$。由于 $I(0)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$，因此原积分值为 $\frac{\pi}{2}$。
公式：$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}$$
提示：注意 $t\to 0^+$ 时 $I(t)$ 连续，可直接代入。
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