安徽师范大学 2022年数学分析第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle u=2 x+y, v=x-y, L$ 为平面曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2022$ ，取逆时针方向，求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{u d v-v d u}{u^{2}+v^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量变换与雅可比行列式
令 $u = 2x + y$, $v = x - y$，则变换的雅可比行列式为 $J = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3$。
公式：$J = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -3$
提示：注意雅可比行列式的计算，符号不要弄错。
步骤 2/5
目标：分析变换后曲线的性质
曲线 $L$ 是圆 $x^2 + y^2 = 2022$，取逆时针方向。线性变换将圆映射为椭圆，且原点 $(0,0)$ 映射为 $(0,0)$。由于 $L$ 包围原点，变换后的曲线 $L'$ 也包围原点。因此，$L'$ 绕原点一周。
提示：线性变换保持原点，且圆包围原点，所以椭圆也包围原点。
步骤 3/5
目标：被积表达式的几何意义
被积表达式 $\frac{u dv - v du}{u^2+v^2}$ 在极坐标下等于 $d\theta$，其中 $\theta = \arctan(v/u)$。这是因为 $\theta = \arctan(v/u)$ 的微分为 $d\theta = \frac{u dv - v du}{u^2+v^2}$。
公式：$d\theta = \frac{u dv - v du}{u^2+v^2}$
提示：注意该表达式在原点无定义，但原点不在积分路径上。
步骤 4/5
目标：计算环路积分
沿逆时针方向绕原点一周，角度 $\theta$ 增加 $2\pi$，因此积分值为 $\oint_{L'} d\theta = 2\pi$。由于变换是线性的，积分值与路径参数化无关，直接得到结果。
公式：$\oint_{L'} d\theta = 2\pi$
提示：注意积分方向：逆时针为正方向，对应角度增加。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，原积分 $\oint_L \frac{u dv - v du}{u^2+v^2} = 2\pi$。
提示：最终答案是一个常数，与圆的半径无关。
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