安徽师范大学 2022年数学分析第9题
📝 题目
9．写出 $\displaystyle f(x)=\arctan x$ 在 $\displaystyle x_{0}=0$ 的幂级数展开式，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用已知幂级数展开
已知几何级数公式：$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$，收敛区间为 $|x|<1$。
公式：\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}
提示：注意 $x^2$ 的符号，级数从 $n=0$ 开始。
步骤 2/6
目标：对导数积分求原函数
由于 $\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$，所以 $\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt$。将 $\frac{1}{1+t^2}$ 的级数展开代入并逐项积分：$\arctan x = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^x t^{2n} dt$。
公式：\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt
提示：积分与求和交换顺序需验证一致收敛性，此处幂级数在 $|x|<1$ 内闭一致收敛。
步骤 3/6
目标：计算积分得到幂级数
计算积分：$\int_0^x t^{2n} dt = \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，因此 $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$，收敛区间为 $|x|<1$。
公式：\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}
提示：注意积分后 $x$ 的指数为 $2n+1$，分母为 $2n+1$。
步骤 4/6
目标：确定端点收敛性
当 $x=1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$，这是交错级数，且通项 $\frac{1}{2n+1}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知收敛。当 $x=-1$ 时，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} (-1)^{2n+1} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ 也收敛。因此收敛域为 $[-1,1]$。
提示：端点处需单独判断收敛性，注意 $x=-1$ 时符号变化。
步骤 5/6
目标：代入端点求级数和
由于 $\arctan x$ 在 $x=1$ 处连续，且级数在 $x=1$ 收敛，所以 $\arctan 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$。而 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，因此 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$。
公式：\arctan 1 = \frac{\pi}{4}
提示：注意 $\arctan 1$ 的值是 $\pi/4$，不是 $\pi/2$。
步骤 6/6
目标：变换指标得到所求级数
所求级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$。令 $m=n-1$，则 $n=m+1$，当 $n=1$ 时 $m=0$，级数变为 $\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{2m+1}$，与上述级数完全相同，因此其和为 $\frac{\pi}{4}$。
提示：注意指标变换时符号和分母的对应关系。
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