安徽师范大学 2022年数学分析第2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle F(x, y)$ 在以 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为中心的矩形区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 . y=f(x)$ 为 $\displaystyle F(x, y)=0$ 所确定的隐函数．证明：当 $\displaystyle F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $\displaystyle F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 同号时，$\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处取得极大值 $\displaystyle y_{0}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：应用隐函数存在定理
由隐函数存在定理，由于 $F(x,y)$ 在 $P_0$ 附近具有二阶连续偏导数，$F(x_0,y_0)=0$，且 $F_y(x_0,y_0) \neq 0$，则存在 $x_0$ 的邻域 $U$ 和唯一的隐函数 $y=f(x)$，满足 $F(x,f(x))=0$，且 $f(x_0)=y_0$。
提示：注意隐函数存在定理的条件：$F_y \neq 0$ 是保证存在隐函数的关键。
步骤 2/5
目标：求一阶导数
对 $F(x,f(x))=0$ 两边关于 $x$ 求导，由链式法则得 $F_x + F_y f' = 0$，解得 $f'(x) = -\frac{F_x}{F_y}$。代入 $x=x_0$，利用 $F_x(x_0,y_0)=0$ 得 $f'(x_0)=0$。
公式：$f'(x) = -\frac{F_x}{F_y}$
提示：注意 $F_x$ 和 $F_y$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，求导后要代入点 $(x_0,y_0)$。
步骤 3/5
目标：求二阶导数
对 $F_x + F_y f' = 0$ 两边再关于 $x$ 求导，注意 $F_x$ 和 $F_y$ 是 $x$ 和 $y$ 的复合函数，$y=f(x)$，得 $F_{xx} + F_{xy} f' + (F_{yx} + F_{yy} f') f' + F_y f'' = 0$，即 $F_{xx} + 2F_{xy} f' + F_{yy} (f')^2 + F_y f'' = 0$。
公式：$F_{xx} + 2F_{xy} f' + F_{yy} (f')^2 + F_y f'' = 0$
提示：注意 $F_{xy}=F_{yx}$，且求导时不要遗漏项。
步骤 4/5
目标：代入驻点条件
将 $x=x_0$ 代入上式，利用 $f'(x_0)=0$，得 $F_{xx}(x_0,y_0) + F_y(x_0,y_0) f''(x_0) = 0$，解得 $f''(x_0) = -\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$。
公式：$f''(x_0) = -\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}$
提示：代入时注意 $f'(x_0)=0$ 简化了表达式。
步骤 5/5
目标：判断极值
由题设 $F_{xx}(x_0,y_0)$ 与 $F_y(x_0,y_0)$ 同号，则 $\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} > 0$，从而 $f''(x_0) = -\frac{F_{xx}(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)} < 0$。根据极值判定定理，$f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值 $y_0$。
提示：注意二阶导数小于0是极大值的充分条件。
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