安徽师范大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．用极限定义证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简函数表达式
首先，化简函数 $\frac{x(x-1)}{x^2-1}$。由于 $x^2-1 = (x-1)(x+1)$，且 $x \neq 1$，所以 $\frac{x(x-1)}{x^2-1} = \frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{x+1}$。因此，原极限等价于 $\lim_{x \to 1} \frac{x}{x+1}$。
公式：$\frac{x(x-1)}{x^2-1} = \frac{x}{x+1}$
提示：注意 $x \neq 1$，但极限过程 $x \to 1$ 不考虑 $x=1$ 的情况，所以化简有效。
步骤 2/6
目标：写出极限的 $\varepsilon-\delta$ 定义
要证明 $\lim_{x \to 1} \frac{x}{x+1} = \frac{1}{2}$，根据极限定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x-1| < \delta$ 时，有 $\left| \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2} \right| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: 0 < |x-1| < \delta \Rightarrow \left| \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2} \right| < \varepsilon$
提示：注意定义中 $0 < |x-1|$ 表示 $x \neq 1$。
步骤 3/6
目标：计算差值并放缩
计算差值：$\left| \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2} \right| = \left| \frac{2x - (x+1)}{2(x+1)} \right| = \left| \frac{x-1}{2(x+1)} \right| = \frac{|x-1|}{2|x+1|}$。为了放缩，需要控制 $|x+1|$ 的下界。假设 $|x-1| < 1$，则 $0 < x < 2$，从而 $1 < x+1 < 3$，所以 $\frac{1}{|x+1|} < 1$。于是 $\frac{|x-1|}{2|x+1|} < \frac{|x-1|}{2}$。
公式：$\left| \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2} \right| = \frac{|x-1|}{2|x+1|}$
提示：放缩时需确保分母不为零，$x+1$ 在 $x$ 接近1时为正，故绝对值可去掉。
步骤 4/6
目标：确定 $\delta$ 的取值
要使 $\frac{|x-1|}{2} < \varepsilon$，只需 $|x-1| < 2\varepsilon$。结合之前的假设 $|x-1| < 1$，取 $\delta = \min\{1, 2\varepsilon\}$。
公式：$\delta = \min\{1, 2\varepsilon\}$
提示：取最小值是为了同时满足两个条件：$|x-1|<1$ 和 $|x-1|<2\varepsilon$。
步骤 5/6
目标：验证 $\delta$ 满足条件
当 $0 < |x-1| < \delta$ 时，由于 $\delta \leq 1$，有 $|x-1| < 1$，从而 $\frac{|x-1|}{2|x+1|} < \frac{|x-1|}{2}$。又因为 $\delta \leq 2\varepsilon$，所以 $|x-1| < 2\varepsilon$，即 $\frac{|x-1|}{2} < \varepsilon$。因此 $\left| \frac{x}{x+1} - \frac{1}{2} \right| < \varepsilon$。由极限定义，原极限成立。
提示：验证时需注意不等式链的传递性。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x(x-1)}{x^2-1} = \frac{1}{2}$。
提示：最终结论应与题目一致。
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