📝 安徽师范大学 2024年数学分析真题
第1题
1．用极限定义证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x(x-1)}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}$ ．
第2题
2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $R$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 单调，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $R$ 上连续．
第3题
3．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续凸函数，证明：
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$
第4题
4．设 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上严格单调递增且连续，$\displaystyle f(0)=0, x=f^{-1}(y)$ 为 $\displaystyle y=f(x)$的反函数，$\displaystyle a \in R^{+}$，证明：$\displaystyle a f(a)=\int_{0}^{a} f(x) d x+\int_{0}^{f(a)} f^{-1}(y) d y$ ．
第5题
5．对 $\displaystyle a \in R$ ，记 $\displaystyle a^{+}=\max \{a, 0\}, a^{-}=\max \{-a, 0\}$ ．
证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛当且仅当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{+}$与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{-}$均收敛；
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{+}=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{-}=+\infty$ 。该命题的逆命题是否正确？若是，请给出证明，若否，请给出反例．
证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛当且仅当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{+}$与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{-}$均收敛；
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{+}=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{-}=+\infty$ 。该命题的逆命题是否正确？若是，请给出证明，若否，请给出反例．
第6题
6．设 $\displaystyle E \subset R^{2}$ ，且 $\displaystyle \operatorname{int} E \neq \varnothing$ ，记 $\displaystyle \mathcal{B}=\{B \subset E \mid B$ 为开集 $\displaystyle \}$ ．证明： $\displaystyle \operatorname{int} E$ 为开集，且 $\displaystyle \operatorname{int} E=\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$.
第7题
7．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，不可微，且沿任意方向的方向导数都存在。
第8题
8．确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使得曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某一点相切（即在该点有公共切平面）．
第9题
9．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{3}-x}{\ln x} d x$ ．
第10题
10．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上具有二阶连续偏导数，证明：
$\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) d \sigma=\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿着 $\displaystyle \partial D$ 外法线方向 $n$ 的方向导数．
$\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) d \sigma=\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿着 $\displaystyle \partial D$ 外法线方向 $n$ 的方向导数．