安徽师范大学 2024年数学分析第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续凸函数，证明：
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用凸函数定义得到中点不等式
由凸函数定义，对任意 $x_1, x_2 \in [a,b]$ 和 $\lambda \in [0,1]$，有 $f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$。取 $x_1=a$, $x_2=b$, $\lambda=\frac{1}{2}$，得 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}$。
公式：f(λx₁+(1-λ)x₂) ≤ λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)
提示：注意凸函数定义中不等式方向，凸函数是向下凸，即函数值小于等于线性插值。
步骤 2/6
目标：应用Jensen不等式证明左边不等式
由凸函数的Jensen不等式，对于区间上的均匀分布，有 $f\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b x dx\right) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx$。计算 $\frac{1}{b-a}\int_a^b x dx = \frac{a+b}{2}$，因此 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx$。
公式：f(∫x dμ) ≤ ∫f(x) dμ
提示：Jensen不等式要求测度为概率测度，这里均匀分布的密度为1/(b-a)，积分除以长度即为期望。
步骤 3/6
目标：利用凸函数弦上性质得到线性上界
由于 $f$ 是凸函数，其图像在连接 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 的弦的下方，即对任意 $x \in [a,b]$，有 $f(x) \leq \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)$。
公式：f(x) ≤ ((b-x)/(b-a))f(a) + ((x-a)/(b-a))f(b)
提示：该不等式可由凸函数定义或几何直观得到，注意系数和为1。
步骤 4/6
目标：对线性上界积分
将不等式两边在 $[a,b]$ 上积分：$\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b \left(\frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)\right) dx$。
提示：积分时注意被积函数是线性函数，可直接计算。
步骤 5/6
目标：计算积分得到右边不等式
计算两个积分：$\int_a^b \frac{b-x}{b-a} dx = \frac{b-a}{2}$，$\int_a^b \frac{x-a}{b-a} dx = \frac{b-a}{2}$。代入得 $\int_a^b f(x) dx \leq \frac{b-a}{2}f(a) + \frac{b-a}{2}f(b) = \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$。两边除以 $b-a$，得 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}$。
公式：∫_a^b (b-x)/(b-a) dx = (b-a)/2
提示：计算定积分时注意对称性，也可用几何意义：梯形面积。
步骤 6/6
目标：综合结论
由第一步和第五步得到 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}$，证毕。
提示：注意两个不等式方向一致，中间项是积分平均值。
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