安徽师范大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上严格单调递增且连续，$\displaystyle f(0)=0, x=f^{-1}(y)$ 为 $\displaystyle y=f(x)$的反函数，$\displaystyle a \in R^{+}$，证明：$\displaystyle a f(a)=\int_{0}^{a} f(x) d x+\int_{0}^{f(a)} f^{-1}(y) d y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件和几何意义
已知 $y=f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格单调递增且连续，$f(0)=0$，反函数 $x=f^{-1}(y)$ 存在且也严格单调递增连续。考虑积分 $\int_0^a f(x)dx$ 表示曲线 $y=f(x)$ 下从 $x=0$ 到 $x=a$ 的面积，$\int_0^{f(a)} f^{-1}(y)dy$ 表示曲线 $x=f^{-1}(y)$ 下从 $y=0$ 到 $y=f(a)$ 的面积。两者之和等于矩形 $[0,a]\times[0,f(a)]$ 的面积 $a f(a)$。
提示：注意反函数的存在条件：严格单调且连续。
步骤 2/5
目标：引入变量替换
令 $u = f(x)$，则 $x = f^{-1}(u)$。当 $x$ 从 $0$ 到 $a$ 时，$u$ 从 $f(0)=0$ 到 $f(a)$。于是 $dx = d(f^{-1}(u))$，积分 $\int_0^a f(x) dx = \int_0^{f(a)} u \, d(f^{-1}(u))$。
公式：$\int_0^a f(x) dx = \int_0^{f(a)} u \, d(f^{-1}(u))$
提示：注意积分限的对应关系：$x=0$ 对应 $u=0$，$x=a$ 对应 $u=f(a)$。
步骤 3/5
目标：应用分部积分公式
对 $\int_0^{f(a)} u \, d(f^{-1}(u))$ 使用分部积分：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，其中 $v = f^{-1}(u)$，$du = du$。于是 $\int_0^{f(a)} u \, d(f^{-1}(u)) = \left[ u f^{-1}(u) \right]_0^{f(a)} - \int_0^{f(a)} f^{-1}(u) \, du$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：分部积分时注意 $dv = d(f^{-1}(u))$，$v = f^{-1}(u)$。
步骤 4/5
目标：计算边界项
计算 $\left[ u f^{-1}(u) \right]_0^{f(a)} = f(a) \cdot f^{-1}(f(a)) - 0 \cdot f^{-1}(0) = f(a) \cdot a - 0 = a f(a)$，因为 $f^{-1}(f(a)) = a$，且 $f^{-1}(0)=0$。
公式：$f^{-1}(f(a)) = a$
提示：注意 $f^{-1}(0)=0$ 由 $f(0)=0$ 得到。
步骤 5/5
目标：得到等式并移项
代入得 $\int_0^a f(x) dx = a f(a) - \int_0^{f(a)} f^{-1}(u) du$。将积分变量 $u$ 换回 $y$，即 $\int_0^a f(x) dx = a f(a) - \int_0^{f(a)} f^{-1}(y) dy$。移项得 $a f(a) = \int_0^a f(x) dx + \int_0^{f(a)} f^{-1}(y) dy$，证毕。
公式：$a f(a) = \int_0^a f(x) dx + \int_0^{f(a)} f^{-1}(y) dy$
提示：移项时注意符号，不要漏掉负号。
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